初级微积分示例

$f (x) = x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36$

解题步骤 1

将 $x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36$ 设为等于 $0$ 。

$x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

$q = \pm 1$

解题步骤 2.1.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

解题步骤 2.1.1.3

代入 $- 1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 1$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.1.1.3.1

将 $- 1$ 代入多项式。

${(- 1)}^{6} + 4 {(- 1)}^{4} - 41 {(- 1)}^{2} + 36$

解题步骤 2.1.1.3.2

对 $- 1$ 进行 $6$ 次方运算。

$1 + 4 {(- 1)}^{4} - 41 {(- 1)}^{2} + 36$

解题步骤 2.1.1.3.3

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$1 + 4 \cdot 1 - 41 {(- 1)}^{2} + 36$

解题步骤 2.1.1.3.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$1 + 4 - 41 {(- 1)}^{2} + 36$

解题步骤 2.1.1.3.5

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$5 - 41 {(- 1)}^{2} + 36$

解题步骤 2.1.1.3.6

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$5 - 41 \cdot 1 + 36$

解题步骤 2.1.1.3.7

将 $- 41$ 乘以 $1$ 。

$5 - 41 + 36$

解题步骤 2.1.1.3.8

从 $5$ 中减去 $41$ 。

$- 36 + 36$

解题步骤 2.1.1.3.9

将 $- 36$ 和 $36$ 相加。

$0$

解题步骤 2.1.1.4

因为 $- 1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.5

用 $x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36$ 除以 $x + 1$ 。

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解题步骤 2.1.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

解题步骤 2.1.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{6}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

解题步骤 2.1.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

解题步骤 2.1.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{6} + x^{5}$ 中的所有符号

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

解题步骤 2.1.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

解题步骤 2.1.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

解题步骤 2.1.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- x^{5}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

解题步骤 2.1.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

解题步骤 2.1.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{5} - x^{4}$ 中的所有符号

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

解题步骤 2.1.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

解题步骤 2.1.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

解题步骤 2.1.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $5 x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

解题步骤 2.1.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

解题步骤 2.1.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $5 x^{4} + 5 x^{3}$ 中的所有符号

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

解题步骤 2.1.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

解题步骤 2.1.1.5.16

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

解题步骤 2.1.1.5.17

将被除数中的最高阶项 $- 5 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

解题步骤 2.1.1.5.18

将新的商式项乘以除数。

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

解题步骤 2.1.1.5.19

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 5 x^{3} - 5 x^{2}$ 中的所有符号

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

解题步骤 2.1.1.5.20

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

解题步骤 2.1.1.5.21

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

解题步骤 2.1.1.5.22

将被除数中的最高阶项 $- 36 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

解题步骤 2.1.1.5.23

将新的商式项乘以除数。

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

解题步骤 2.1.1.5.24

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 36 x^{2} - 36 x$ 中的所有符号

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

解题步骤 2.1.1.5.25

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

解题步骤 2.1.1.5.26

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

$36$

解题步骤 2.1.1.5.27

将被除数中的最高阶项 $36 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$36$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

$36$

解题步骤 2.1.1.5.28

将新的商式项乘以除数。

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$36$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

$36$

$36 x$

$36$

解题步骤 2.1.1.5.29

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $36 x + 36$ 中的所有符号

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$36$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

$36$

$36 x$

$36$

解题步骤 2.1.1.5.30

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$36$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

$36$

$36 x$

$36$

$0$

解题步骤 2.1.1.5.31

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{5} - x^{4} + 5 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x + 36$

解题步骤 2.1.1.6

将 $x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36$ 书写为因数的集合。

$(x + 1) (x^{5} - x^{4} + 5 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x + 36) = 0$

解题步骤 2.1.2

重新组合项。

$(x + 1) (x^{5} + 5 x^{3} - 36 x - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

解题步骤 2.1.3

从 $x^{5} + 5 x^{3} - 36 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

从 $x^{5}$ 中分解出因数 $x$ 。

$(x + 1) (x \cdot x^{4} + 5 x^{3} - 36 x - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

解题步骤 2.1.3.2

从 $5 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$(x + 1) (x \cdot x^{4} + x (5 x^{2}) - 36 x - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

解题步骤 2.1.3.3

从 $- 36 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$(x + 1) (x \cdot x^{4} + x (5 x^{2}) + x \cdot - 36 - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

解题步骤 2.1.3.4

从 $x \cdot x^{4} + x (5 x^{2})$ 中分解出因数 $x$ 。

$(x + 1) (x (x^{4} + 5 x^{2}) + x \cdot - 36 - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

解题步骤 2.1.3.5

从 $x (x^{4} + 5 x^{2}) + x \cdot - 36$ 中分解出因数 $x$ 。

$(x + 1) (x (x^{4} + 5 x^{2} - 36) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

解题步骤 2.1.4

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$(x + 1) (x ({(x^{2})}^{2} + 5 x^{2} - 36) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

解题步骤 2.1.5

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$(x + 1) (x (u^{2} + 5 u - 36) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

解题步骤 2.1.6

使用 AC 法来对 $u^{2} + 5 u - 36$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.6.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 36$ ，和为 $5$ 。

$- 4, 9$

解题步骤 2.1.6.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x + 1) (x ((u - 4) (u + 9)) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

解题步骤 2.1.7

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x + 1) (x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 9)) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

解题步骤 2.1.8

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$(x + 1) (x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 9)) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

解题步骤 2.1.9

因数。

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解题步骤 2.1.9.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$(x + 1) (x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9)) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

解题步骤 2.1.9.2

去掉多余的括号。

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

解题步骤 2.1.10

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} + 36) = 0$

解题步骤 2.1.11

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - u^{2} - 5 u + 36) = 0$

解题步骤 2.1.12

分组因式分解。

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解题步骤 2.1.12.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot 36 = - 36$ 并且它们的和为 $b = - 5$ 。

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解题步骤 2.1.12.1.1

从 $- 5 u$ 中分解出因数 $- 5$ 。

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - u^{2} - 5 u + 36) = 0$

解题步骤 2.1.12.1.2

把 $- 5$ 重写为 $4$ 加 $- 9$

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - u^{2} + (4 - 9) u + 36) = 0$

解题步骤 2.1.12.1.3

运用分配律。

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - u^{2} + 4 u - 9 u + 36) = 0$

解题步骤 2.1.12.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.1.12.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - u^{2} + 4 u - 9 u + 36) = 0$

解题步骤 2.1.12.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + u (- u + 4) + 9 (- u + 4)) = 0$

解题步骤 2.1.12.3

通过因式分解出最大公因数 $- u + 4$ 来因式分解多项式。

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (- u + 4) (u + 9)) = 0$

解题步骤 2.1.13

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (- x^{2} + 4) (x^{2} + 9)) = 0$

解题步骤 2.1.14

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (- x^{2} + 2^{2}) (x^{2} + 9)) = 0$

解题步骤 2.1.15

将 $- x^{2}$ 和 $2^{2}$ 重新排序。

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (2^{2} - x^{2}) (x^{2} + 9)) = 0$

解题步骤 2.1.16

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2$ 和 $b = x$ 。

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 9)) = 0$

解题步骤 2.1.17

从 $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 9)$ 中分解出因数 $x^{2} + 9$ 。

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解题步骤 2.1.17.1

从 $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9)$ 中分解出因数 $x^{2} + 9$ 。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x (x + 2) (x - 2)) + (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 9)) = 0$

解题步骤 2.1.17.2

从 $(2 + x) (2 - x) (x^{2} + 9)$ 中分解出因数 $x^{2} + 9$ 。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x (x + 2) (x - 2)) + (x^{2} + 9) ((2 + x) (2 - x))) = 0$

解题步骤 2.1.17.3

从 $(x^{2} + 9) (x (x + 2) (x - 2)) + (x^{2} + 9) ((2 + x) (2 - x))$ 中分解出因数 $x^{2} + 9$ 。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x (x + 2) (x - 2) + (2 + x) (2 - x))) = 0$

解题步骤 2.1.18

运用分配律。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x \cdot x + x \cdot 2) (x - 2) + (2 + x) (2 - x))) = 0$

解题步骤 2.1.19

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x^{2} + x \cdot 2) (x - 2) + (2 + x) (2 - x))) = 0$

解题步骤 2.1.20

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x^{2} + 2 x) (x - 2) + (2 + x) (2 - x))) = 0$

解题步骤 2.1.21

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} + 2 x) (x - 2)$ 。

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解题步骤 2.1.21.1

运用分配律。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} (x - 2) + 2 x (x - 2) + (2 + x) (2 - x))) = 0$

解题步骤 2.1.21.2

运用分配律。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (x - 2) + (2 + x) (2 - x))) = 0$

解题步骤 2.1.21.3

运用分配律。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x))) = 0$

解题步骤 2.1.22

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.22.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.22.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.22.1.1.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.22.1.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x))) = 0$

解题步骤 2.1.22.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x))) = 0$

解题步骤 2.1.22.1.1.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x))) = 0$

解题步骤 2.1.22.1.2

将 $- 2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 2 x^{2} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x))) = 0$

解题步骤 2.1.22.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.22.1.3.1

移动 $x$ 。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 2 x^{2} + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x))) = 0$

解题步骤 2.1.22.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x))) = 0$

解题步骤 2.1.22.1.4

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{2} - 4 x + (2 + x) (2 - x))) = 0$

解题步骤 2.1.22.2

将 $- 2 x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} + 0 - 4 x + (2 + x) (2 - x))) = 0$

解题步骤 2.1.22.3

将 $x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + (2 + x) (2 - x))) = 0$

解题步骤 2.1.23

使用 FOIL 方法展开 $(2 + x) (2 - x)$ 。

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解题步骤 2.1.23.1

运用分配律。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 2 (2 - x) + x (2 - x))) = 0$

解题步骤 2.1.23.2

运用分配律。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x))) = 0$

解题步骤 2.1.23.3

运用分配律。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x))) = 0$

解题步骤 2.1.24

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.24.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.24.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x))) = 0$

解题步骤 2.1.24.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x))) = 0$

解题步骤 2.1.24.1.3

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - 2 x + 2 x + x (- x))) = 0$

解题步骤 2.1.24.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - 2 x + 2 x - x \cdot x)) = 0$

解题步骤 2.1.24.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.24.1.5.1

移动 $x$ 。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x))) = 0$

解题步骤 2.1.24.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - 2 x + 2 x - x^{2})) = 0$

解题步骤 2.1.24.2

将 $- 2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 + 0 - x^{2})) = 0$

解题步骤 2.1.24.3

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - x^{2})) = 0$

解题步骤 2.1.25

重新排序项。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - x^{2} - 4 x + 4)) = 0$

解题步骤 2.1.26

因数。

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解题步骤 2.1.26.1

因数。

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解题步骤 2.1.26.1.1

以因式分解的形式重写 $x^{3} - x^{2} - 4 x + 4$ 。

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解题步骤 2.1.26.1.1.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.1.26.1.1.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x^{3} - x^{2}) - 4 x + 4)) = 0$

解题步骤 2.1.26.1.1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} (x - 1) - 4 (x - 1))) = 0$

解题步骤 2.1.26.1.1.2

通过因式分解出最大公因数 $x - 1$ 来因式分解多项式。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x - 1) (x^{2} - 4))) = 0$

解题步骤 2.1.26.1.1.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x - 1) (x^{2} - 2^{2}))) = 0$

解题步骤 2.1.26.1.1.4

因数。

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解题步骤 2.1.26.1.1.4.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x - 1) ((x + 2) (x - 2)))) = 0$

解题步骤 2.1.26.1.1.4.2

去掉多余的括号。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x - 1) (x + 2) (x - 2))) = 0$

解题步骤 2.1.26.1.2

去掉多余的括号。

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x - 1) (x + 2) (x - 2)) = 0$

解题步骤 2.1.26.2

去掉多余的括号。

$(x + 1) (x^{2} + 9) (x - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

解题步骤 2.3

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.3.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 2.4

将 $x^{2} + 9$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x^{2} + 9$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 9 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 9 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

从等式两边同时减去 $9$ 。

$x^{2} = - 9$

解题步骤 2.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

解题步骤 2.4.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 9}$ 。

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解题步骤 2.4.2.3.1

将 $- 9$ 重写为 $- 1 (9)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

解题步骤 2.4.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (9)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

解题步骤 2.4.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

解题步骤 2.4.2.3.4

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 2.4.2.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm i \cdot 3$

解题步骤 2.4.2.3.6

将 $3$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \pm 3 i$

解题步骤 2.4.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.4.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 3 i$

解题步骤 2.4.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 3 i$

解题步骤 2.4.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 3 i, - 3 i$

解题步骤 2.5

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.5.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 2.6

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.6.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 2.6.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 2.7

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.7.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 2.7.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 2.8

最终解为使 $(x + 1) (x^{2} + 9) (x - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, 3 i, - 3 i, 1, - 2, 2$

解题步骤 3

初级微积分 示例

初级微积分示例