初级微积分示例

$f (x) = x^{5} - 3 x^{4} - 3 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x + 12$

解题步骤 1

将 $x^{5} - 3 x^{4} - 3 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x + 12$ 设为等于 $0$ 。

$x^{5} - 3 x^{4} - 3 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x + 12 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

重新组合项。

$x^{5} - 3 x^{3} - 4 x - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

解题步骤 2.1.2

从 $x^{5} - 3 x^{3} - 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $x^{5}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{4} - 3 x^{3} - 4 x - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

解题步骤 2.1.2.2

从 $- 3 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2}) - 4 x - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

解题步骤 2.1.2.3

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2}) + x \cdot - 4 - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

解题步骤 2.1.2.4

从 $x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2})$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x^{4} - 3 x^{2}) + x \cdot - 4 - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

解题步骤 2.1.2.5

从 $x (x^{4} - 3 x^{2}) + x \cdot - 4$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x^{4} - 3 x^{2} - 4) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

解题步骤 2.1.3

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$x ({(x^{2})}^{2} - 3 x^{2} - 4) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

解题步骤 2.1.4

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$x (u^{2} - 3 u - 4) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

解题步骤 2.1.5

使用 AC 法来对 $u^{2} - 3 u - 4$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 4$ ，和为 $- 3$ 。

$- 4, 1$

解题步骤 2.1.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$x ((u - 4) (u + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

解题步骤 2.1.6

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

解题步骤 2.1.7

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

解题步骤 2.1.8

因数。

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解题步骤 2.1.8.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

解题步骤 2.1.8.2

去掉多余的括号。

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

解题步骤 2.1.9

从 $- 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 2.1.9.1

从 $- 3 x^{4}$ 中分解出因数 $3$ 。

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 9 x^{2} + 12 = 0$

解题步骤 2.1.9.2

从 $9 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 3 (3 x^{2}) + 12 = 0$

解题步骤 2.1.9.3

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 3 (3 x^{2}) + 3 (4) = 0$

解题步骤 2.1.9.4

从 $3 (- x^{4}) + 3 (3 x^{2})$ 中分解出因数 $3$ 。

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4} + 3 x^{2}) + 3 (4) = 0$

解题步骤 2.1.9.5

从 $3 (- x^{4} + 3 x^{2}) + 3 (4)$ 中分解出因数 $3$ 。

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

解题步骤 2.1.10

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- {(x^{2})}^{2} + 3 x^{2} + 4) = 0$

解题步骤 2.1.11

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + 3 u + 4) = 0$

解题步骤 2.1.12

分组因式分解。

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解题步骤 2.1.12.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot 4 = - 4$ 并且它们的和为 $b = 3$ 。

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解题步骤 2.1.12.1.1

从 $3 u$ 中分解出因数 $3$ 。

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + 3 (u) + 4) = 0$

解题步骤 2.1.12.1.2

把 $3$ 重写为 $- 1$ 加 $4$

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + (- 1 + 4) u + 4) = 0$

解题步骤 2.1.12.1.3

运用分配律。

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} - 1 u + 4 u + 4) = 0$

解题步骤 2.1.12.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.1.12.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- u^{2} - 1 u) + 4 u + 4) = 0$

解题步骤 2.1.12.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (u (- u - 1) - 4 (- u - 1)) = 0$

解题步骤 2.1.12.3

通过因式分解出最大公因数 $- u - 1$ 来因式分解多项式。

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- u - 1) (u - 4)) = 0$

解题步骤 2.1.13

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x^{2} - 4)) = 0$

解题步骤 2.1.14

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x^{2} - 2^{2})) = 0$

解题步骤 2.1.15

因数。

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解题步骤 2.1.15.1

因数。

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解题步骤 2.1.15.1.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) ((x + 2) (x - 2))) = 0$

解题步骤 2.1.15.1.2

去掉多余的括号。

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)) = 0$

解题步骤 2.1.15.2

去掉多余的括号。

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$

解题步骤 2.1.16

从 $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)$ 中分解出因数 $(x + 2) (x - 2)$ 。

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解题步骤 2.1.16.1

从 $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ 中分解出因数 $(x + 2) (x - 2)$ 。

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$

解题步骤 2.1.16.2

从 $3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)$ 中分解出因数 $(x + 2) (x - 2)$ 。

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + (x + 2) (x - 2) (3 (- x^{2} - 1)) = 0$

解题步骤 2.1.16.3

从 $(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + (x + 2) (x - 2) (3 (- x^{2} - 1))$ 中分解出因数 $(x + 2) (x - 2)$ 。

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

解题步骤 2.1.17

运用分配律。

$(x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

解题步骤 2.1.18

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.18.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.18.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

解题步骤 2.1.18.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(x + 2) (x - 2) (x^{1 + 2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

解题步骤 2.1.18.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

解题步骤 2.1.19

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

解题步骤 2.1.20

运用分配律。

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot - 1) = 0$

解题步骤 2.1.21

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 \cdot - 1) = 0$

解题步骤 2.1.22

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x - 3 x^{2} - 3) = 0$

解题步骤 2.1.23

重新排序项。

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} - 3 x^{2} + x - 3) = 0$

解题步骤 2.1.24

因数。

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解题步骤 2.1.24.1

以因式分解的形式重写 $x^{3} - 3 x^{2} + x - 3$ 。

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解题步骤 2.1.24.1.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.1.24.1.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x + 2) (x - 2) ((x^{3} - 3 x^{2}) + x - 3) = 0$

解题步骤 2.1.24.1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} (x - 3) + 1 (x - 3)) = 0$

解题步骤 2.1.24.1.2

通过因式分解出最大公因数 $x - 3$ 来因式分解多项式。

$(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x^{2} + 1)) = 0$

解题步骤 2.1.24.2

去掉多余的括号。

$(x + 2) (x - 2) (x - 3) (x^{2} + 1) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

解题步骤 2.3

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 2.3.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 2.4

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 2.4.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 2.5

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 2.5.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 2.6

将 $x^{2} + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.6.1

将 $x^{2} + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 1 = 0$

解题步骤 2.6.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.6.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x^{2} = - 1$

解题步骤 2.6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

解题步骤 2.6.2.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i$

解题步骤 2.6.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.6.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i$

解题步骤 2.6.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i$

解题步骤 2.6.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i, - i$

解题步骤 2.7

最终解为使 $(x + 2) (x - 2) (x - 3) (x^{2} + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 2, 2, 3, i, - i$

解题步骤 3

初级微积分 示例

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