初级微积分示例

$p - 8 \sqrt{p} = - 15$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $15$ 。

$p - 8 \sqrt{p} + 15 = 0$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{p}$ 重写成 $p^{\frac{1}{2}}$ 。

$p - 8 p^{\frac{1}{2}} + 15 = 0$

解题步骤 3

将 $p$ 重写为 ${(p^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

${(p^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8 p^{\frac{1}{2}} + 15 = 0$

解题步骤 4

使 $u = p^{\frac{1}{2}}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $p^{\frac{1}{2}}$ 。

$u^{2} - 8 u + 15 = 0$

解题步骤 5

使用 AC 法来对 $u^{2} - 8 u + 15$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $15$ ，和为 $- 8$ 。

$- 5, - 3$

解题步骤 5.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 5) (u - 3) = 0$

解题步骤 6

使用 $p^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(p^{\frac{1}{2}} - 5) (p^{\frac{1}{2}} - 3) = 0$

解题步骤 7

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$p^{\frac{1}{2}} - 5 = 0$

$p^{\frac{1}{2}} - 3 = 0$

解题步骤 8

将 $p^{\frac{1}{2}} - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $p$ 。

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解题步骤 8.1

将 $p^{\frac{1}{2}} - 5$ 设为等于 $0$ 。

$p^{\frac{1}{2}} - 5 = 0$

解题步骤 8.2

求解 $p$ 的 $p^{\frac{1}{2}} - 5 = 0$ 。

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解题步骤 8.2.1

在等式两边都加上 $5$ 。

$p^{\frac{1}{2}} = 5$

解题步骤 8.2.2

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(p^{\frac{1}{2}})}^{2} = 5^{2}$

解题步骤 8.2.3

化简指数。

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解题步骤 8.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 8.2.3.1.1

化简 ${(p^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 8.2.3.1.1.1

将 ${(p^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.2.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$p^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{2}$

解题步骤 8.2.3.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

$p^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{2}$

解题步骤 8.2.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

$p^{1} = 5^{2}$

解题步骤 8.2.3.1.1.2

化简。

$p = 5^{2}$

解题步骤 8.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.3.2.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$p = 25$

解题步骤 9

将 $p^{\frac{1}{2}} - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $p$ 。

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解题步骤 9.1

将 $p^{\frac{1}{2}} - 3$ 设为等于 $0$ 。

$p^{\frac{1}{2}} - 3 = 0$

解题步骤 9.2

求解 $p$ 的 $p^{\frac{1}{2}} - 3 = 0$ 。

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解题步骤 9.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$p^{\frac{1}{2}} = 3$

解题步骤 9.2.2

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(p^{\frac{1}{2}})}^{2} = 3^{2}$

解题步骤 9.2.3

化简指数。

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解题步骤 9.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 9.2.3.1.1

化简 ${(p^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 9.2.3.1.1.1

将 ${(p^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 9.2.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$p^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

解题步骤 9.2.3.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

$p^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

解题步骤 9.2.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

$p^{1} = 3^{2}$

解题步骤 9.2.3.1.1.2

化简。

$p = 3^{2}$

解题步骤 9.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 9.2.3.2.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$p = 9$

解题步骤 10

最终解为使 $(p^{\frac{1}{2}} - 5) (p^{\frac{1}{2}} - 3) = 0$ 成立的所有值。

$p = 25, 9$

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