初级微积分示例

$\ln (x + 1) - \ln (x) = 2$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$\ln (x + 1) - \ln (x) - 2 = 0$

解题步骤 2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{x + 1}{x}) - 2 = 0$

解题步骤 3

在等式两边都加上 $2$ 。

$\ln (\frac{x + 1}{x}) = 2$

解题步骤 4

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{x + 1}{x})} = e^{2}$

解题步骤 5

使用对数的定义将 $\ln (\frac{x + 1}{x}) = 2$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{2} = \frac{x + 1}{x}$

解题步骤 6

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $\frac{x + 1}{x} = e^{2}$ 。

$\frac{x + 1}{x} = e^{2}$

解题步骤 6.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 6.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x, 1$

解题步骤 6.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x$

解题步骤 6.3

将 $\frac{x + 1}{x} = e^{2}$ 中的每一项乘以 $x$ 以消去分数。

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解题步骤 6.3.1

将 $\frac{x + 1}{x} = e^{2}$ 中的每一项乘以 $x$ 。

$\frac{x + 1}{x} x = e^{2} x$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x + 1}{x} x = e^{2} x$

解题步骤 6.3.2.1.2

重写表达式。

$x + 1 = e^{2} x$

解题步骤 6.4

求解方程。

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解题步骤 6.4.1

从等式两边同时减去 $e^{2} x$ 。

$x + 1 - e^{2} x = 0$

解题步骤 6.4.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x - e^{2} x = - 1$

解题步骤 6.4.3

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 6.4.3.1

从 $x - e^{2} x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 6.4.3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x - e^{2} x = - 1$

解题步骤 6.4.3.1.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot 1 - e^{2} x = - 1$

解题步骤 6.4.3.1.3

从 $- e^{2} x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot 1 + x (- e^{2}) = - 1$

解题步骤 6.4.3.1.4

从 $x \cdot 1 + x (- e^{2})$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (1 - e^{2}) = - 1$

解题步骤 6.4.3.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x (1^{2} - e^{2}) = - 1$

解题步骤 6.4.3.3

因数。

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解题步骤 6.4.3.3.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = e$ 。

$x ((1 + e) (1 - e)) = - 1$

解题步骤 6.4.3.3.2

去掉多余的括号。

$x (1 + e) (1 - e) = - 1$

解题步骤 6.4.4

将 $x (1 + e) (1 - e) = - 1$ 中的每一项除以 $1 - e^{2}$ 并化简。

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解题步骤 6.4.4.1

将 $x (1 + e) (1 - e) = - 1$ 中的每一项都除以 $1 - e^{2}$ 。

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{1 - e^{2}} = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

解题步骤 6.4.4.2

化简左边。

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解题步骤 6.4.4.2.1

化简分母。

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解题步骤 6.4.4.2.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{1^{2} - e^{2}} = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

解题步骤 6.4.4.2.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = e$ 。

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{(1 + e) (1 - e)} = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

解题步骤 6.4.4.2.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 6.4.4.2.2.1

约去 $1 + e$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{(1 + e) (1 - e)} = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

解题步骤 6.4.4.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{x (1 - e)}{1 - e} = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

解题步骤 6.4.4.2.2.2

约去 $1 - e$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.4.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x (1 - e)}{1 - e} = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

解题步骤 6.4.4.2.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

解题步骤 6.4.4.3

化简右边。

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解题步骤 6.4.4.3.1

化简分母。

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解题步骤 6.4.4.3.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x = \frac{- 1}{1^{2} - e^{2}}$

解题步骤 6.4.4.3.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = e$ 。

$x = \frac{- 1}{(1 + e) (1 - e)}$

解题步骤 6.4.4.3.2

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1}{(1 + e) (1 - e)}$

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