初级微积分示例

$\cos (2 x) + \cos (4 x) = 0$

解题步骤 1

化简等式左边。

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解题步骤 1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $2 \cos^{2} (x) - 1$ 。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + \cos (4 x) = 0$

解题步骤 1.1.2

从 $4 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + \cos (2 (2 x)) = 0$

解题步骤 1.1.3

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.1

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $2 \cos^{2} (x) - 1$ 。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 {(2 \cos^{2} (x) - 1)}^{2} - 1 = 0$

解题步骤 1.1.3.2

将 ${(2 \cos^{2} (x) - 1)}^{2}$ 重写为 $(2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)$ 。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 ((2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1 = 0$

解题步骤 1.1.3.3

使用 FOIL 方法展开 $(2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)$ 。

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解题步骤 1.1.3.3.1

运用分配律。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x) - 1) - 1 (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1 = 0$

解题步骤 1.1.3.3.2

运用分配律。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1 = 0$

解题步骤 1.1.3.3.3

运用分配律。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

解题步骤 1.1.3.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.4.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cdot (2 \cos^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

解题步骤 1.1.3.4.1.2

通过指数相加将 $\cos^{2} (x)$ 乘以 $\cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 1.1.3.4.1.2.1

移动 $\cos^{2} (x)$ 。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cdot (2 (\cos^{2} (x) \cos^{2} (x))) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

解题步骤 1.1.3.4.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cdot (2 {\cos (x)}^{2 + 2}) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

解题步骤 1.1.3.4.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cdot (2 \cos^{4} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

解题步骤 1.1.3.4.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

解题步骤 1.1.3.4.1.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

解题步骤 1.1.3.4.1.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

解题步骤 1.1.3.4.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1) - 1 = 0$

解题步骤 1.1.3.4.2

从 $- 2 \cos^{2} (x)$ 中减去 $2 \cos^{2} (x)$ 。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) - 4 \cos^{2} (x) + 1) - 1 = 0$

解题步骤 1.1.3.5

运用分配律。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x)) + 2 (- 4 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot 1 - 1 = 0$

解题步骤 1.1.3.6

化简。

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解题步骤 1.1.3.6.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) + 2 (- 4 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot 1 - 1 = 0$

解题步骤 1.1.3.6.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 2 \cdot 1 - 1 = 0$

解题步骤 1.1.3.6.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 2 - 1 = 0$

解题步骤 1.1.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

解题步骤 1.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 1.2.1

合并 $2 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 1.2.1.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$2 \cos^{2} (x) + 0 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 1.2.1.2

将 $2 \cos^{2} (x)$ 和 $0$ 相加。

$2 \cos^{2} (x) + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 1.2.2

从 $2 \cos^{2} (x)$ 中减去 $8 \cos^{2} (x)$ 。

$- 6 \cos^{2} (x) + 8 \cos^{4} (x) = 0$

解题步骤 2

从 $- 6 \cos^{2} (x) + 8 \cos^{4} (x)$ 中分解出因数 $2 \cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 2.1

从 $- 6 \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $2 \cos^{2} (x)$ 。

$2 \cos^{2} (x) \cdot - 3 + 8 \cos^{4} (x) = 0$

解题步骤 2.2

从 $8 \cos^{4} (x)$ 中分解出因数 $2 \cos^{2} (x)$ 。

$2 \cos^{2} (x) \cdot - 3 + 2 \cos^{2} (x) (4 \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.3

从 $2 \cos^{2} (x) \cdot - 3 + 2 \cos^{2} (x) (4 \cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $2 \cos^{2} (x)$ 。

$2 \cos^{2} (x) (- 3 + 4 \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos^{2} (x) = 0$

$- 3 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 4

将 $\cos^{2} (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\cos^{2} (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $\cos^{2} (x) = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\cos (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\cos (x) = \pm 0$

解题步骤 4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

解题步骤 4.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

解题步骤 4.2.4

化简右边。

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解题步骤 4.2.4.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.5

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.6

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 4.2.6.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.6.2

合并分数。

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解题步骤 4.2.6.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.6.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 4.2.6.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.6.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 4.2.6.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 4.2.7

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.2.8

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

将 $- 3 + 4 \cos^{2} (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $- 3 + 4 \cos^{2} (x)$ 设为等于 $0$ 。

$- 3 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $- 3 + 4 \cos^{2} (x) = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$4 \cos^{2} (x) = 3$

解题步骤 5.2.2

将 $4 \cos^{2} (x) = 3$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $4 \cos^{2} (x) = 3$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 \cos^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

解题步骤 5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 \cos^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

解题步骤 5.2.2.2.1.2

用 $\cos^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

解题步骤 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

解题步骤 5.2.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ 。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $\sqrt{\frac{3}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 5.2.4.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.4.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 5.2.4.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.2.6

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.2.7

在 $\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 5.2.7.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 5.2.7.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.7.2.1

$\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$x = \frac{π}{6}$

解题步骤 5.2.7.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

解题步骤 5.2.7.4

化简 $2 π - \frac{π}{6}$ 。

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解题步骤 5.2.7.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 5.2.7.4.2

合并分数。

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解题步骤 5.2.7.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 5.2.7.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 5.2.7.4.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.7.4.3.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{12 π - π}{6}$

解题步骤 5.2.7.4.3.2

从 $12 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{11 π}{6}$

解题步骤 5.2.7.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.7.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.7.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.7.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.7.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.2.7.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.2.8

在 $\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 5.2.8.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 5.2.8.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.8.2.1

$\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ 的准确值为 $\frac{5 π}{6}$ 。

$x = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 5.2.8.3

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

解题步骤 5.2.8.4

化简 $2 π - \frac{5 π}{6}$ 。

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解题步骤 5.2.8.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

解题步骤 5.2.8.4.2

合并分数。

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解题步骤 5.2.8.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

解题步骤 5.2.8.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

解题步骤 5.2.8.4.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.8.4.3.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

解题步骤 5.2.8.4.3.2

从 $12 π$ 中减去 $5 π$ 。

$x = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 5.2.8.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.8.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.8.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.8.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.8.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.2.8.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.2.9

列出所有解。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.2.10

合并解集。

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解题步骤 5.2.10.1

将 $\frac{π}{6} + 2 π n$ 和 $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ 合并为 $\frac{π}{6} + π n$ 。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.2.10.2

将 $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ 和 $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ 合并为 $\frac{5 π}{6} + π n$ 。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

最终解为使 $2 \cos^{2} (x) (- 3 + 4 \cos^{2} (x)) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

合并答案。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{π}{2} + 2 π n$ 和 $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ 合并为 $\frac{π}{2} + π n$ 。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7.2

合并答案。

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ ，对于任意整数 $n$

初级微积分 示例

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