初级微积分示例

$\tan^{2} (x) = \frac{3}{2} \cdot \sec (x)$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\frac{3}{2} \cdot \sec (x)$ 。

$\tan^{2} (x) - \frac{3}{2} \cdot \sec (x) = 0$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

组合 $\sec (x)$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$\tan^{2} (x) - \frac{\sec (x) \cdot 3}{2} = 0$

解题步骤 2.2

将 $3$ 移到 $\sec (x)$ 的左侧。

$\tan^{2} (x) - \frac{3 \sec (x)}{2} = 0$

解题步骤 3

使用基于 $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ 恒等式的 $\sec^{2} (x) - 1$ 替换 $\tan^{2} (x)$ 。

$(\sec^{2} (x) - 1) - \frac{3 \sec (x)}{2} = 0$

解题步骤 4

重新排列多项式。

$\sec^{2} (x) - \frac{3 \sec (x)}{2} - 1 = 0$

解题步骤 5

代入 $u$ 替换 $\sec (x)$ 。

${(u)}^{2} - \frac{3 (u)}{2} - 1 = 0$

解题步骤 6

全部乘以最小公分母 $2$ ，然后化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$2 u^{2} + 2 (- \frac{3 u}{2}) + 2 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $- \frac{3 u}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$2 u^{2} + 2 \frac{- 3 u}{2} + 2 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 6.2.1.2

约去公因数。

$2 u^{2} + 2 \frac{- 3 u}{2} + 2 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 6.2.1.3

重写表达式。

$2 u^{2} - 3 u + 2 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 6.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 u^{2} - 3 u - 2 = 0$

解题步骤 7

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 8

将 $a = 2$ 、 $b = - 3$ 和 $c = - 2$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 9.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 9.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 9.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $- 2$ 。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 9.1.3

将 $9$ 和 $16$ 相加。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 9.1.4

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 9.1.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

解题步骤 9.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

解题步骤 10

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 10.1

化简分子。

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解题步骤 10.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 10.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 10.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 10.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $- 2$ 。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 10.1.3

将 $9$ 和 $16$ 相加。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 10.1.4

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 10.1.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

解题步骤 10.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

解题步骤 10.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$u = \frac{3 + 5}{4}$

解题步骤 10.4

将 $3$ 和 $5$ 相加。

$u = \frac{8}{4}$

解题步骤 10.5

用 $8$ 除以 $4$ 。

$u = 2$

解题步骤 11

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 11.1

化简分子。

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解题步骤 11.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 11.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 11.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 11.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $- 2$ 。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 11.1.3

将 $9$ 和 $16$ 相加。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 11.1.4

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 11.1.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

解题步骤 11.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

解题步骤 11.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$u = \frac{3 - 5}{4}$

解题步骤 11.4

从 $3$ 中减去 $5$ 。

$u = \frac{- 2}{4}$

解题步骤 11.5

约去 $- 2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 11.5.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$u = \frac{2 (- 1)}{4}$

解题步骤 11.5.2

约去公因数。

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解题步骤 11.5.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$u = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 11.5.2.2

约去公因数。

$u = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 11.5.2.3

重写表达式。

$u = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 11.6

将负号移到分数的前面。

$u = - \frac{1}{2}$

解题步骤 12

最终答案为两个解的组合。

$u = 2, - \frac{1}{2}$

解题步骤 13

代入 $\sec (x)$ 替换 $u$ 。

$\sec (x) = 2, - \frac{1}{2}$

解题步骤 14

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sec (x) = 2$

$\sec (x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 15

在 $\sec (x) = 2$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 15.1

对方程两边取反正割以便从正割中提出 $x$ 。

$x = arcsec (2)$

解题步骤 15.2

化简右边。

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解题步骤 15.2.1

$arcsec (2)$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$x = \frac{π}{3}$

解题步骤 15.3

正割函数在第一象限和第斯象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

解题步骤 15.4

化简 $2 π - \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 15.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 15.4.2

合并分数。

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解题步骤 15.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 15.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 15.4.3

化简分子。

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解题步骤 15.4.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{6 π - π}{3}$

解题步骤 15.4.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{5 π}{3}$

解题步骤 15.5

求 $\sec (x)$ 的周期。

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解题步骤 15.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 15.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 15.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 15.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 15.6

$\sec (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 16

在 $\sec (x) = - \frac{1}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 16.1

正割函数的值域为 $y \leq - 1$ 和 $y \geq 1$ 。因为 $- \frac{1}{2}$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 17

列出所有解。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

初级微积分 示例

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