初级微积分示例

$\tan^{2} (3 x) = \sqrt{1}$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\sqrt{1}$ 。

$\tan^{2} (3 x) - \sqrt{1} = 0$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\tan^{2} (3 x) - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\tan^{2} (3 x) - 1 = 0$

解题步骤 3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\tan^{2} (3 x) - 1^{2} = 0$

解题步骤 4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \tan (3 x)$ 和 $b = 1$ 。

$(\tan (3 x) + 1) (\tan (3 x) - 1) = 0$

解题步骤 5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\tan (3 x) + 1 = 0$

$\tan (3 x) - 1 = 0$

解题步骤 6

将 $\tan (3 x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $\tan (3 x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$\tan (3 x) + 1 = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $\tan (3 x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\tan (3 x) = - 1$

解题步骤 6.2.2

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$3 x = \arctan (- 1)$

解题步骤 6.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.1

$\arctan (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{4}$ 。

$3 x = - \frac{π}{4}$

解题步骤 6.2.4

将 $3 x = - \frac{π}{4}$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 6.2.4.1

将 $3 x = - \frac{π}{4}$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{4}}{3}$

解题步骤 6.2.4.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.4.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{4}}{3}$

解题步骤 6.2.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{3}$

解题步骤 6.2.4.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.4.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 6.2.4.3.2

乘以 $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 6.2.4.3.2.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{π}{4}$ 。

$x = - \frac{π}{3 \cdot 4}$

解题步骤 6.2.4.3.2.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$x = - \frac{π}{12}$

解题步骤 6.2.5

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$3 x = - \frac{π}{4} - π$

解题步骤 6.2.6

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 6.2.6.1

将 $2 π$ 加上 $- \frac{π}{4} - π$ 。

$3 x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

解题步骤 6.2.6.2

得出的角 $\frac{3 π}{4}$ 是正角度且与 $- \frac{π}{4} - π$ 共边。

$3 x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 6.2.6.3

将 $3 x = \frac{3 π}{4}$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 6.2.6.3.1

将 $3 x = \frac{3 π}{4}$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

解题步骤 6.2.6.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.6.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.6.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

解题步骤 6.2.6.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

解题步骤 6.2.6.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.6.3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 6.2.6.3.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.6.3.3.2.1

从 $3 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$x = \frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 6.2.6.3.3.2.2

约去公因数。

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 6.2.6.3.3.2.3

重写表达式。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 6.2.7

求 $\tan (3 x)$ 的周期。

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解题步骤 6.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 6.2.7.2

使用周期公式中的 $3$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 3 |}$

解题步骤 6.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $3$ 之间的距离为 $3$ 。

$\frac{π}{3}$

解题步骤 6.2.8

将 $\frac{π}{3}$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 6.2.8.1

将 $\frac{π}{3}$ 加到 $- \frac{π}{12}$ 以求正角。

$- \frac{π}{12} + \frac{π}{3}$

解题步骤 6.2.8.2

要将 $\frac{π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{12}$

解题步骤 6.2.8.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 6.2.8.3.1

将 $\frac{π}{3}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{12}$

解题步骤 6.2.8.3.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π}{12}$

解题步骤 6.2.8.4

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 4 - π}{12}$

解题步骤 6.2.8.5

化简分子。

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解题步骤 6.2.8.5.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot π - π}{12}$

解题步骤 6.2.8.5.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{3 π}{12}$

解题步骤 6.2.8.6

约去 $3$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.8.6.1

从 $3 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (π)}{12}$

解题步骤 6.2.8.6.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.8.6.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 π}{3 \cdot 4}$

解题步骤 6.2.8.6.2.2

约去公因数。

$\frac{3 π}{3 \cdot 4}$

解题步骤 6.2.8.6.2.3

重写表达式。

$\frac{π}{4}$

解题步骤 6.2.8.7

列出新角。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 6.2.9

$\tan (3 x)$ 函数的周期为 $\frac{π}{3}$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $\frac{π}{3}$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

将 $\tan (3 x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将 $\tan (3 x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$\tan (3 x) - 1 = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 的 $\tan (3 x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$\tan (3 x) = 1$

解题步骤 7.2.2

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$3 x = \arctan (1)$

解题步骤 7.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.2.3.1

$\arctan (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$3 x = \frac{π}{4}$

解题步骤 7.2.4

将 $3 x = \frac{π}{4}$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 7.2.4.1

将 $3 x = \frac{π}{4}$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

解题步骤 7.2.4.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.4.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

解题步骤 7.2.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

解题步骤 7.2.4.3

化简右边。

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解题步骤 7.2.4.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 7.2.4.3.2

乘以 $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 7.2.4.3.2.1

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$x = \frac{π}{4 \cdot 3}$

解题步骤 7.2.4.3.2.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{π}{12}$

解题步骤 7.2.5

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$3 x = π + \frac{π}{4}$

解题步骤 7.2.6

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.2.6.1

化简。

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解题步骤 7.2.6.1.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$3 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 7.2.6.1.2

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$3 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 7.2.6.1.3

在公分母上合并分子。

$3 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

解题步骤 7.2.6.1.4

将 $π \cdot 4$ 和 $π$ 相加。

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解题步骤 7.2.6.1.4.1

将 $π$ 和 $4$ 重新排序。

$3 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

解题步骤 7.2.6.1.4.2

将 $4 \cdot π$ 和 $π$ 相加。

$3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

解题步骤 7.2.6.2

将 $3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 7.2.6.2.1

将 $3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

解题步骤 7.2.6.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.6.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.6.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

解题步骤 7.2.6.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

解题步骤 7.2.6.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.2.6.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 7.2.6.2.3.2

乘以 $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 7.2.6.2.3.2.1

将 $\frac{5 π}{4}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 3}$

解题步骤 7.2.6.2.3.2.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{5 π}{12}$

解题步骤 7.2.7

求 $\tan (3 x)$ 的周期。

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解题步骤 7.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 7.2.7.2

使用周期公式中的 $3$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 3 |}$

解题步骤 7.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $3$ 之间的距离为 $3$ 。

$\frac{π}{3}$

解题步骤 7.2.8

$\tan (3 x)$ 函数的周期为 $\frac{π}{3}$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $\frac{π}{3}$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{3}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

最终解为使 $(\tan (3 x) + 1) (\tan (3 x) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}, \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{3}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

合并答案。

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{6}$ ，对于任意整数 $n$

初级微积分 示例

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