初级微积分示例

$\sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = 3$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$\sin^{2} (x) - 2 \sin (x) - 3 = 0$

解题步骤 2

使 $u = \sin (x)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $\sin (x)$ 。

$u^{2} - 2 u - 3 = 0$

解题步骤 3

使用 AC 法来对 $u^{2} - 2 u - 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 3$ ，和为 $- 2$ 。

$- 3, 1$

解题步骤 3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 3) (u + 1) = 0$

解题步骤 4

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(\sin (x) - 3) (\sin (x) + 1) = 0$

解题步骤 5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sin (x) - 3 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

解题步骤 6

将 $\sin (x) - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $\sin (x) - 3$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) - 3 = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) - 3 = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$\sin (x) = 3$

解题步骤 6.2.2

正弦函数的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $3$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 7

将 $\sin (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将 $\sin (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) + 1 = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\sin (x) = - 1$

解题步骤 7.2.2

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- 1)$

解题步骤 7.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.2.3.1

$\arcsin (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{2}$ 。

$x = - \frac{π}{2}$

解题步骤 7.2.4

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

解题步骤 7.2.5

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 7.2.5.1

从 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

解题步骤 7.2.5.2

得出的角 $\frac{3 π}{2}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 共边。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 7.2.6

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 7.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 7.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 7.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 7.2.6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 7.2.7

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 7.2.7.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{2}$ 以求正角。

$- \frac{π}{2} + 2 π$

解题步骤 7.2.7.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 7.2.7.3

合并分数。

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解题步骤 7.2.7.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 7.2.7.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 7.2.7.4

化简分子。

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解题步骤 7.2.7.4.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 7.2.7.4.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{3 π}{2}$

解题步骤 7.2.7.5

列出新角。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 7.2.8

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

最终解为使 $(\sin (x) - 3) (\sin (x) + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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