初级微积分示例

$5^{2 x} + 5^{x + 1} - 24 = 0$

解题步骤 1

将 $5^{x + 1}$ 重写为 $5^{x} \cdot 5^{1}$ 。

$5^{2 x} + 5^{x} \cdot 5 - 24 = 0$

解题步骤 2

将 $5^{2 x}$ 重写为 ${(5^{x})}^{2}$ 。

${(5^{x})}^{2} + 5^{x} \cdot 5 - 24 = 0$

解题步骤 3

使 $u = 5^{x}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $5^{x}$ 。

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解题步骤 3.1

计算指数。

$u^{2} + u \cdot 5 - 24 = 0$

解题步骤 3.2

将 $5$ 移到 $u$ 的左侧。

$u^{2} + 5 u - 24 = 0$

解题步骤 4

使用 AC 法来对 $u^{2} + 5 u - 24$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 24$ ，和为 $5$ 。

$- 3, 8$

解题步骤 4.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 3) (u + 8) = 0$

解题步骤 5

使用 $5^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(5^{x} - 3) (5^{x} + 8) = 0$

解题步骤 6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$5^{x} - 3 = 0$

$5^{x} + 8 = 0$

解题步骤 7

将 $5^{x} - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将 $5^{x} - 3$ 设为等于 $0$ 。

$5^{x} - 3 = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 的 $5^{x} - 3 = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$5^{x} = 3$

解题步骤 7.2.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (5^{x}) = \ln (3)$

解题步骤 7.2.3

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (5^{x})$ 。

$x \ln (5) = \ln (3)$

解题步骤 7.2.4

将 $x \ln (5) = \ln (3)$ 中的每一项除以 $\ln (5)$ 并化简。

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解题步骤 7.2.4.1

将 $x \ln (5) = \ln (3)$ 中的每一项都除以 $\ln (5)$ 。

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

解题步骤 7.2.4.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.4.2.1

约去 $\ln (5)$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

解题步骤 7.2.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

解题步骤 8

将 $5^{x} + 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

将 $5^{x} + 8$ 设为等于 $0$ 。

$5^{x} + 8 = 0$

解题步骤 8.2

求解 $x$ 的 $5^{x} + 8 = 0$ 。

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解题步骤 8.2.1

从等式两边同时减去 $8$ 。

$5^{x} = - 8$

解题步骤 8.2.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (5^{x}) = \ln (- 8)$

解题步骤 8.2.3

因为 $\ln (- 8)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 8.2.4

$5^{x} = - 8$ 无解

无解

解题步骤 9

最终解为使 $(5^{x} - 3) (5^{x} + 8) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

初级微积分 示例

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