初级微积分示例

${(m^{2} - 1)}^{2} - 11 (m^{2} - 1) + 24 = 0$

解题步骤 1

使 $u = m^{2} - 1$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $m^{2} - 1$ 。

$u^{2} - 11 u + 24 = 0$

解题步骤 2

使用 AC 法来对 $u^{2} - 11 u + 24$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $24$ ，和为 $- 11$ 。

$- 8, - 3$

解题步骤 2.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 8) (u - 3) = 0$

解题步骤 3

使用 $m^{2} - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(m^{2} - 1 - 8) (m^{2} - 1 - 3) = 0$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

从 $- 1$ 中减去 $8$ 。

$(m^{2} - 9) (m^{2} - 1 - 3) = 0$

解题步骤 4.2

从 $- 1$ 中减去 $3$ 。

$(m^{2} - 9) (m^{2} - 4) = 0$

解题步骤 5

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$(m^{2} - 3^{2}) (m^{2} - 4) = 0$

解题步骤 6

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = m$ 和 $b = 3$ 。

$(m + 3) (m - 3) (m^{2} - 4) = 0$

解题步骤 7

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$(m + 3) (m - 3) (m^{2} - 2^{2}) = 0$

解题步骤 8

因数。

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解题步骤 8.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = m$ 和 $b = 2$ 。

$(m + 3) (m - 3) ((m + 2) (m - 2)) = 0$

解题步骤 8.2

去掉多余的括号。

$(m + 3) (m - 3) (m + 2) (m - 2) = 0$

解题步骤 9

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$m + 3 = 0$

$m - 3 = 0$

$m + 2 = 0$

$m - 2 = 0$

解题步骤 10

将 $m + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $m$ 。

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解题步骤 10.1

将 $m + 3$ 设为等于 $0$ 。

$m + 3 = 0$

解题步骤 10.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$m = - 3$

解题步骤 11

将 $m - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $m$ 。

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解题步骤 11.1

将 $m - 3$ 设为等于 $0$ 。

$m - 3 = 0$

解题步骤 11.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$m = 3$

解题步骤 12

将 $m + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $m$ 。

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解题步骤 12.1

将 $m + 2$ 设为等于 $0$ 。

$m + 2 = 0$

解题步骤 12.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$m = - 2$

解题步骤 13

将 $m - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $m$ 。

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解题步骤 13.1

将 $m - 2$ 设为等于 $0$ 。

$m - 2 = 0$

解题步骤 13.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$m = 2$

解题步骤 14

最终解为使 $(m + 3) (m - 3) (m + 2) (m - 2) = 0$ 成立的所有值。

$m = - 3, 3, - 2, 2$

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