初级微积分示例

$3 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$

解题步骤 1

将 $x^{\frac{2}{3}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 。

$3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} + 4 x^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$

解题步骤 2

使 $u = x^{\frac{1}{3}}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$3 u^{2} + 4 u - 4 = 0$

解题步骤 3

分组因式分解。

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解题步骤 3.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ 并且它们的和为 $b = 4$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

$3 u^{2} + 4 (u) - 4 = 0$

解题步骤 3.1.2

把 $4$ 重写为 $- 2$ 加 $6$

$3 u^{2} + (- 2 + 6) u - 4 = 0$

解题步骤 3.1.3

运用分配律。

$3 u^{2} - 2 u + 6 u - 4 = 0$

解题步骤 3.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(3 u^{2} - 2 u) + 6 u - 4 = 0$

解题步骤 3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$u (3 u - 2) + 2 (3 u - 2) = 0$

解题步骤 3.3

通过因式分解出最大公因数 $3 u - 2$ 来因式分解多项式。

$(3 u - 2) (u + 2) = 0$

解题步骤 4

使用 $x^{\frac{1}{3}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(3 x^{\frac{1}{3}} - 2) (x^{\frac{1}{3}} + 2) = 0$

解题步骤 5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3 x^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$

解题步骤 6

将 $3 x^{\frac{1}{3}} - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $3 x^{\frac{1}{3}} - 2$ 设为等于 $0$ 。

$3 x^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $3 x^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$3 x^{\frac{1}{3}} = 2$

解题步骤 6.2.2

将方程两边同时进行 $3$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

解题步骤 6.2.3

化简指数。

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解题步骤 6.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 6.2.3.1.1

化简 ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 6.2.3.1.1.1

对 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 运用乘积法则。

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

解题步骤 6.2.3.1.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

解题步骤 6.2.3.1.1.3

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.3.1.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

解题步骤 6.2.3.1.1.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.1.1.3.2.1

约去公因数。

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

解题步骤 6.2.3.1.1.3.2.2

重写表达式。

$27 x^{1} = 2^{3}$

解题步骤 6.2.3.1.1.4

化简。

$27 x = 2^{3}$

解题步骤 6.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.2.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 x = 8$

解题步骤 6.2.4

将 $27 x = 8$ 中的每一项除以 $27$ 并化简。

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解题步骤 6.2.4.1

将 $27 x = 8$ 中的每一项都除以 $27$ 。

$\frac{27 x}{27} = \frac{8}{27}$

解题步骤 6.2.4.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.4.2.1

约去 $27$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{27 x}{27} = \frac{8}{27}$

解题步骤 6.2.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{8}{27}$

解题步骤 7

将 $x^{\frac{1}{3}} + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将 $x^{\frac{1}{3}} + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 的 $x^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x^{\frac{1}{3}} = - 2$

解题步骤 7.2.2

将方程两边同时进行 $3$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 2)}^{3}$

解题步骤 7.2.3

化简指数。

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解题步骤 7.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 7.2.3.1.1

化简 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 7.2.3.1.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.2.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{3}$

解题步骤 7.2.3.1.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{3}$

解题步骤 7.2.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = {(- 2)}^{3}$

解题步骤 7.2.3.1.1.2

化简。

$x = {(- 2)}^{3}$

解题步骤 7.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.3.2.1

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$x = - 8$

解题步骤 8

最终解为使 $(3 x^{\frac{1}{3}} - 2) (x^{\frac{1}{3}} + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{8}{27}, - 8$

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