初级微积分示例

$2 y^{2} - y - \frac{1}{2} = 0$

解题步骤 1

要将 $2 y^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- y + 2 y^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = 0$

解题步骤 2

组合 $2 y^{2}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- y + \frac{2 y^{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} = 0$

解题步骤 3

在公分母上合并分子。

$- y + \frac{2 y^{2} \cdot 2 - 1}{2} = 0$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- y + \frac{4 y^{2} - 1}{2} = 0$

解题步骤 4.2

将 $4 y^{2}$ 重写为 ${(2 y)}^{2}$ 。

$- y + \frac{{(2 y)}^{2} - 1}{2} = 0$

解题步骤 4.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$- y + \frac{{(2 y)}^{2} - 1^{2}}{2} = 0$

解题步骤 4.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2 y$ 和 $b = 1$ 。

$- y + \frac{(2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

解题步骤 5

要将 $- y$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- y \cdot \frac{2}{2} + \frac{(2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

解题步骤 6

组合 $- y$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- y \cdot 2}{2} + \frac{(2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

解题步骤 7

在公分母上合并分子。

$\frac{- y \cdot 2 + (2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2 y + (2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

解题步骤 8.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 y + 1) (2 y - 1)$ 。

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解题步骤 8.2.1

运用分配律。

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y - 1) + 1 (2 y - 1)}{2} = 0$

解题步骤 8.2.2

运用分配律。

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 1 + 1 (2 y - 1)}{2} = 0$

解题步骤 8.2.3

运用分配律。

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

解题步骤 8.3

合并 $2 y (2 y) + 2 y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 8.3.1

按照 $2 y \cdot - 1$ 和 $1 (2 y)$ 重新排列因数。

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) - 1 \cdot (2 y) + 1 \cdot (2 y) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

解题步骤 8.3.2

将 $- 1 \cdot 2 y$ 和 $1 \cdot 2 y$ 相加。

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) + 0 + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

解题步骤 8.3.3

将 $2 y (2 y)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

解题步骤 8.4

化简每一项。

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解题步骤 8.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 2 y + 2 \cdot (2 y \cdot y) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

解题步骤 8.4.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 8.4.2.1

移动 $y$ 。

$\frac{- 2 y + 2 \cdot (2 (y \cdot y)) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

解题步骤 8.4.2.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{- 2 y + 2 \cdot (2 y^{2}) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

解题步骤 8.4.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 y + 4 y^{2} + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

解题步骤 8.4.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 2 y + 4 y^{2} - 1}{2} = 0$

解题步骤 8.5

重新排序项。

$\frac{4 y^{2} - 2 y - 1}{2} = 0$

解题步骤 9

将分子设为等于零。

$4 y^{2} - 2 y - 1 = 0$

解题步骤 10

求解 $y$ 的方程。

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解题步骤 10.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 10.2

将 $a = 4$ 、 $b = - 2$ 和 $c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 10.3

化简。

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解题步骤 10.3.1

化简分子。

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解题步骤 10.3.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 10.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 10.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 10.3.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 10.3.1.3

将 $4$ 和 $16$ 相加。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 10.3.1.4

将 $20$ 重写为 $2^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 10.3.1.4.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 10.3.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 10.3.1.5

从根式下提出各项。

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 10.3.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

解题步骤 10.3.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ 。

$y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

解题步骤 10.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 10.4.1

化简分子。

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解题步骤 10.4.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 10.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 10.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 10.4.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 10.4.1.3

将 $4$ 和 $16$ 相加。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 10.4.1.4

将 $20$ 重写为 $2^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 10.4.1.4.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 10.4.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 10.4.1.5

从根式下提出各项。

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 10.4.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

解题步骤 10.4.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ 。

$y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

解题步骤 10.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$y = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

解题步骤 10.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 10.5.1

化简分子。

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解题步骤 10.5.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 10.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 10.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 10.5.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 10.5.1.3

将 $4$ 和 $16$ 相加。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 10.5.1.4

将 $20$ 重写为 $2^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 10.5.1.4.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 10.5.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 10.5.1.5

从根式下提出各项。

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 10.5.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

解题步骤 10.5.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ 。

$y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

解题步骤 10.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$y = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

解题步骤 10.6

最终答案为两个解的组合。

$y = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$y = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

小数形式：

$y = 0.80901699 \dots, - 0.30901699 \dots$

初级微积分 示例

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