初级微积分示例

$y^{\frac{9}{2}} - 10 y^{\frac{7}{2}} + 21 y^{\frac{5}{2}} = 0$

解题步骤 1

从 $y^{\frac{9}{2}} - 10 y^{\frac{7}{2}} + 21 y^{\frac{5}{2}}$ 中分解出因数 $y^{\frac{5}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1

从 $y^{\frac{9}{2}}$ 中分解出因数 $y^{\frac{5}{2}}$ 。

$y^{\frac{5}{2}} y^{\frac{4}{2}} - 10 y^{\frac{7}{2}} + 21 y^{\frac{5}{2}} = 0$

解题步骤 1.2

从 $- 10 y^{\frac{7}{2}}$ 中分解出因数 $y^{\frac{5}{2}}$ 。

$y^{\frac{5}{2}} y^{\frac{4}{2}} + y^{\frac{5}{2}} (- 10 y^{\frac{2}{2}}) + 21 y^{\frac{5}{2}} = 0$

解题步骤 1.3

从 $21 y^{\frac{5}{2}}$ 中分解出因数 $y^{\frac{5}{2}}$ 。

$y^{\frac{5}{2}} y^{\frac{4}{2}} + y^{\frac{5}{2}} (- 10 y^{\frac{2}{2}}) + y^{\frac{5}{2}} \cdot 21 = 0$

解题步骤 1.4

从 $y^{\frac{5}{2}} y^{\frac{4}{2}} + y^{\frac{5}{2}} (- 10 y^{\frac{2}{2}})$ 中分解出因数 $y^{\frac{5}{2}}$ 。

$y^{\frac{5}{2}} (y^{\frac{4}{2}} - 10 y^{\frac{2}{2}}) + y^{\frac{5}{2}} \cdot 21 = 0$

解题步骤 1.5

从 $y^{\frac{5}{2}} (y^{\frac{4}{2}} - 10 y^{\frac{2}{2}}) + y^{\frac{5}{2}} \cdot 21$ 中分解出因数 $y^{\frac{5}{2}}$ 。

$y^{\frac{5}{2}} (y^{\frac{4}{2}} - 10 y^{\frac{2}{2}} + 21) = 0$

解题步骤 2

使用 AC 法来对 $y^{\frac{4}{2}} - 10 y^{\frac{2}{2}} + 21$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $21$ ，和为 $- 10$ 。

$- 7, - 3$

解题步骤 2.2

使用这些整数书写分数形式。

$y^{\frac{5}{2}} ((y^{\frac{2}{2}} - 7) (y^{\frac{2}{2}} - 3)) = 0$

解题步骤 3

用 $2$ 除以 $2$ 。

$y^{\frac{5}{2}} ((y - 7) (y^{\frac{2}{2}} - 3)) = 0$

解题步骤 4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$y^{\frac{5}{2}} ((y - 7) (y - 3)) = 0$

解题步骤 5

去掉多余的括号。

$y^{\frac{5}{2}} (y - 7) (y - 3) = 0$

解题步骤 6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$y^{\frac{5}{2}} = 0$

$y - 7 = 0$

$y - 3 = 0$

解题步骤 7

将 $y^{\frac{5}{2}}$ 设为等于 $0$ 并求解 $y$ 。

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解题步骤 7.1

将 $y^{\frac{5}{2}}$ 设为等于 $0$ 。

$y^{\frac{5}{2}} = 0$

解题步骤 7.2

求解 $y$ 的 $y^{\frac{5}{2}} = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

将方程两边同时进行 $\frac{2}{5}$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(y^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}} = 0^{\frac{2}{5}}$

解题步骤 7.2.2

化简指数。

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解题步骤 7.2.2.1

化简左边。

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解题步骤 7.2.2.1.1

化简 ${(y^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ 。

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解题步骤 7.2.2.1.1.1

将 ${(y^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.2.2.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 0^{\frac{2}{5}}$

解题步骤 7.2.2.1.1.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.1.1.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 0^{\frac{2}{5}}$

解题步骤 7.2.2.1.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{\frac{2}{5}}$

解题步骤 7.2.2.1.1.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.1.1.1.3.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{\frac{2}{5}}$

解题步骤 7.2.2.1.1.1.3.2

重写表达式。

$y^{1} = 0^{\frac{2}{5}}$

解题步骤 7.2.2.1.1.2

化简。

$y = 0^{\frac{2}{5}}$

解题步骤 7.2.2.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.2.2.1

化简 $0^{\frac{2}{5}}$ 。

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解题步骤 7.2.2.2.1.1

化简表达式。

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解题步骤 7.2.2.2.1.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{5}$ 。

$y = {(0^{5})}^{\frac{2}{5}}$

解题步骤 7.2.2.2.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = 0^{5 (\frac{2}{5})}$

解题步骤 7.2.2.2.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.2.1.2.1

约去公因数。

$y = 0^{5 (\frac{2}{5})}$

解题步骤 7.2.2.2.1.2.2

重写表达式。

$y = 0^{2}$

解题步骤 7.2.2.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 8

将 $y - 7$ 设为等于 $0$ 并求解 $y$ 。

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解题步骤 8.1

将 $y - 7$ 设为等于 $0$ 。

$y - 7 = 0$

解题步骤 8.2

在等式两边都加上 $7$ 。

$y = 7$

解题步骤 9

将 $y - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $y$ 。

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解题步骤 9.1

将 $y - 3$ 设为等于 $0$ 。

$y - 3 = 0$

解题步骤 9.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$y = 3$

解题步骤 10

最终解为使 $y^{\frac{5}{2}} (y - 7) (y - 3) = 0$ 成立的所有值。

$y = 0, 7, 3$

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