初级微积分示例

$x^{8} - 32 x^{4} + 256 = 0$

解题步骤 1

将 $x^{8}$ 重写为 ${(x^{4})}^{2}$ 。

${(x^{4})}^{2} - 32 x^{4} + 256 = 0$

解题步骤 2

使 $u = x^{4}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{4}$ 。

$u^{2} - 32 u + 256 = 0$

解题步骤 3

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 3.1

将 $256$ 重写为 $16^{2}$ 。

$u^{2} - 32 u + 16^{2} = 0$

解题步骤 3.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$32 u = 2 \cdot u \cdot 16$

解题步骤 3.3

重写多项式。

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 16 + 16^{2} = 0$

解题步骤 3.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = u$ 和 $b = 16$ 。

${(u - 16)}^{2} = 0$

解题步骤 4

使用 $x^{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

${(x^{4} - 16)}^{2} = 0$

解题步骤 5

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

${({(x^{2})}^{2} - 16)}^{2} = 0$

解题步骤 6

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

${({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

解题步骤 7

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x^{2}$ 和 $b = 4$ 。

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{2} = 0$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{2} = 0$

解题步骤 8.2

因数。

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解题步骤 8.2.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

${((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)))}^{2} = 0$

解题步骤 8.2.2

去掉多余的括号。

${((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

解题步骤 9

对 $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ 运用乘积法则。

${((x^{2} + 4) (x + 2))}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 10

对 $(x^{2} + 4) (x + 2)$ 运用乘积法则。

${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 11

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 12

将 ${(x^{2} + 4)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

将 ${(x^{2} + 4)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

解题步骤 12.2

求解 $x$ 的 ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 12.2.1

将 $x^{2} + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 4 = 0$

解题步骤 12.2.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 12.2.2.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x^{2} = - 4$

解题步骤 12.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

解题步骤 12.2.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 4}$ 。

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解题步骤 12.2.2.3.1

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

解题步骤 12.2.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (4)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

解题步骤 12.2.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

解题步骤 12.2.2.3.4

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 12.2.2.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm i \cdot 2$

解题步骤 12.2.2.3.6

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \pm 2 i$

解题步骤 12.2.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 12.2.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 2 i$

解题步骤 12.2.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 2 i$

解题步骤 12.2.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 2 i, - 2 i$

解题步骤 13

将 ${(x + 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 13.1

将 ${(x + 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x + 2)}^{2} = 0$

解题步骤 13.2

求解 $x$ 的 ${(x + 2)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 13.2.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 13.2.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 14

将 ${(x - 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 14.1

将 ${(x - 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 14.2

求解 $x$ 的 ${(x - 2)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 14.2.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 14.2.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 15

最终解为使 ${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ 成立的所有值。

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$

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