初级微积分示例

$\sec (\arcsin (\frac{x}{3})) = \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}}$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}}$ 。

$\sec (\arcsin (\frac{x}{3})) - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

解题步骤 2

化简 $\sec (\arcsin (\frac{x}{3})) - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}}$ 。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (\frac{x}{3})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sec (\arcsin (\frac{x}{3}))$ 为 $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

解题步骤 2.1.2

化简分母。

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解题步骤 2.1.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

解题步骤 2.1.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \frac{x}{3}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{(1 + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

解题步骤 2.1.2.3

化简。

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解题步骤 2.1.2.3.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{\sqrt{(\frac{3}{3} + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

解题步骤 2.1.2.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{3 + x}{3} (1 - \frac{x}{3})}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

解题步骤 2.1.2.3.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{3 + x}{3} (\frac{3}{3} - \frac{x}{3})}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

解题步骤 2.1.2.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{3 + x}{3} \cdot \frac{3 - x}{3}}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

解题步骤 2.1.2.4

将 $\frac{3 + x}{3}$ 乘以 $\frac{3 - x}{3}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

解题步骤 2.1.2.5

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

解题步骤 2.1.2.6

将 $\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}$ 重写为 ${(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ 。

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解题步骤 2.1.2.6.1

从 $(3 + x) (3 - x)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

解题步骤 2.1.2.6.2

从 $9$ 中因式分解出完全幂数 $3^{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

解题步骤 2.1.2.6.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

解题步骤 2.1.2.7

从根式下提出各项。

$\frac{1}{\frac{1}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

解题步骤 2.1.2.8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ 。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

解题步骤 2.1.3

将分子乘以分母的倒数。

$1 \frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

解题步骤 2.1.4

将 $\frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

解题步骤 2.1.5

将 $\frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}$ 。

$\frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

解题步骤 2.1.6

合并和化简分母。

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解题步骤 2.1.6.1

将 $\frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}$ 。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

解题步骤 2.1.6.2

对 $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{1} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

解题步骤 2.1.6.3

对 $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{1} {\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{1}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

解题步骤 2.1.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{1 + 1}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

解题步骤 2.1.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{2}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

解题步骤 2.1.6.6

将 ${\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{2}$ 重写为 $(3 + x) (3 - x)$ 。

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解题步骤 2.1.6.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ 重写成 ${((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{({((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

解题步骤 2.1.6.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

解题步骤 2.1.6.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{((3 + x) (3 - x))}^{\frac{2}{2}}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

解题步骤 2.1.6.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.6.6.4.1

约去公因数。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{((3 + x) (3 - x))}^{\frac{2}{2}}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

解题步骤 2.1.6.6.4.2

重写表达式。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{((3 + x) (3 - x))}^{1}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

解题步骤 2.1.6.6.5

化简。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

解题步骤 2.1.7

化简分母。

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解题步骤 2.1.7.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3}{\sqrt{3^{2} - x^{2}}} = 0$

解题步骤 2.1.7.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 3$ 和 $b = x$ 。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}} = 0$

解题步骤 2.1.8

将 $\frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}$ 。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - (\frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}) = 0$

解题步骤 2.1.9

合并和化简分母。

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解题步骤 2.1.9.1

将 $\frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}$ 。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}} = 0$

解题步骤 2.1.9.2

对 $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{1} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}} = 0$

解题步骤 2.1.9.3

对 $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{1} {\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{1}} = 0$

解题步骤 2.1.9.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{1 + 1}} = 0$

解题步骤 2.1.9.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{2}} = 0$

解题步骤 2.1.9.6

将 ${\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{2}$ 重写为 $(3 + x) (3 - x)$ 。

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解题步骤 2.1.9.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ 重写成 ${((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{({((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 0$

解题步骤 2.1.9.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 0$

解题步骤 2.1.9.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{((3 + x) (3 - x))}^{\frac{2}{2}}} = 0$

解题步骤 2.1.9.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.9.6.4.1

约去公因数。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{((3 + x) (3 - x))}^{\frac{2}{2}}} = 0$

解题步骤 2.1.9.6.4.2

重写表达式。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{((3 + x) (3 - x))}^{1}} = 0$

解题步骤 2.1.9.6.5

化简。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} = 0$

解题步骤 2.2

从 $\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)}$ 中减去 $\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)}$ 。

$0 = 0$

初级微积分 示例

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