初级微积分示例

${(4^{x})}^{2} - 65 \cdot 4^{x} + 64 = 0$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

将 ${(4^{x})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4^{x \cdot 2} - 65 \cdot 4^{x} + 64 = 0$

解题步骤 1.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$4^{2 x} - 65 \cdot 4^{x} + 64 = 0$

解题步骤 2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1

将 $4^{2 x}$ 重写为 ${(4^{x})}^{2}$ 。

${(4^{x})}^{2} - 65 \cdot 4^{x} + 64 = 0$

解题步骤 2.2

使 $u = 4^{x}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $4^{x}$ 。

$u^{2} - 65 u + 64 = 0$

解题步骤 2.3

使用 AC 法来对 $u^{2} - 65 u + 64$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $64$ ，和为 $- 65$ 。

$- 64, - 1$

解题步骤 2.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 64) (u - 1) = 0$

解题步骤 2.4

使用 $4^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(4^{x} - 64) (4^{x} - 1) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$4^{x} - 64 = 0$

$4^{x} - 1 = 0$

解题步骤 4

将 $4^{x} - 64$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $4^{x} - 64$ 设为等于 $0$ 。

$4^{x} - 64 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $4^{x} - 64 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上 $64$ 。

$4^{x} = 64$

解题步骤 4.2.2

在方程中创建底数相同的对等表达式。

$4^{x} = 4^{3}$

解题步骤 4.2.3

因为底相同，所以两个表达式仅当指数也相等时才会相等。

$x = 3$

解题步骤 5

将 $4^{x} - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $4^{x} - 1$ 设为等于 $0$ 。

$4^{x} - 1 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $4^{x} - 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$4^{x} = 1$

解题步骤 5.2.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (4^{x}) = \ln (1)$

解题步骤 5.2.3

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (4^{x})$ 。

$x \ln (4) = \ln (1)$

解题步骤 5.2.4

化简右边。

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解题步骤 5.2.4.1

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$x \ln (4) = 0$

解题步骤 5.2.5

将 $x \ln (4) = 0$ 中的每一项除以 $\ln (4)$ 并化简。

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解题步骤 5.2.5.1

将 $x \ln (4) = 0$ 中的每一项都除以 $\ln (4)$ 。

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{0}{\ln (4)}$

解题步骤 5.2.5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.5.2.1

约去 $\ln (4)$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{0}{\ln (4)}$

解题步骤 5.2.5.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{\ln (4)}$

解题步骤 5.2.5.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.5.3.1

将 $\ln (4)$ 重写为 $\ln (2^{2})$ 。

$x = \frac{0}{\ln (2^{2})}$

解题步骤 5.2.5.3.2

通过将 $2$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{2})$ 。

$x = \frac{0}{2 \ln (2)}$

解题步骤 5.2.5.3.3

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.5.3.3.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (0)}{2 \ln (2)}$

解题步骤 5.2.5.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.5.3.3.2.1

从 $2 \ln (2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (0)}{2 (\ln (2))}$

解题步骤 5.2.5.3.3.2.2

约去公因数。

$x = \frac{2 \cdot 0}{2 \ln (2)}$

解题步骤 5.2.5.3.3.2.3

重写表达式。

$x = \frac{0}{\ln (2)}$

解题步骤 5.2.5.3.4

用 $0$ 除以 $\ln (2)$ 。

$x = 0$

解题步骤 6

最终解为使 $(4^{x} - 64) (4^{x} - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 3, 0$

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