初级微积分示例

$| \frac{x}{x + 4} | < 5$

解题步骤 1

将 $| \frac{x}{x + 4} | < 5$ 书写为分段式。

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解题步骤 1.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$\frac{x}{x + 4} \geq 0$

解题步骤 1.2

求解不等式。

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解题步骤 1.2.1

通过把每个因数设为 $0$ 并求解的方式求表达式从负变为正的所有值。

$x = 0$

$x + 4 = 0$

解题步骤 1.2.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 1.2.3

求解每个因式，以求出绝对值表达式从负数变为正数的值。

$x = 0$

$x = - 4$

解题步骤 1.2.4

合并解集。

$x = 0, - 4$

解题步骤 1.2.5

求 $| \frac{x}{x + 4} | - 5$ 的定义域。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $\frac{x}{x + 4}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x + 4 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 1.2.5.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

解题步骤 1.2.6

使用每一个根建立验证区间。

$x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$x > 0$

解题步骤 1.2.7

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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解题步骤 1.2.7.1

检验区间 $x < - 4$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 1.2.7.1.1

选择区间 $x < - 4$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 6$

解题步骤 1.2.7.1.2

使用原不等式中的 $- 6$ 替换 $x$ 。

$\frac{- 6}{(- 6) + 4} \geq 0$

解题步骤 1.2.7.1.3

左边的 $3$ 大于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

解题步骤 1.2.7.2

检验区间 $- 4 < x < 0$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 1.2.7.2.1

选择区间 $- 4 < x < 0$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 2$

解题步骤 1.2.7.2.2

使用原不等式中的 $- 2$ 替换 $x$ 。

$\frac{- 2}{(- 2) + 4} \geq 0$

解题步骤 1.2.7.2.3

左边的 $- 1$ 小于右边的 $0$ ，即给定的命题是假命题。

False

解题步骤 1.2.7.3

检验区间 $x > 0$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 1.2.7.3.1

选择区间 $x > 0$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 2$

解题步骤 1.2.7.3.2

使用原不等式中的 $2$ 替换 $x$ 。

$\frac{2}{(2) + 4} \geq 0$

解题步骤 1.2.7.3.3

左边的 $0.\overline{3}$ 大于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

解题步骤 1.2.7.4

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$x < - 4$ 为真

$- 4 < x < 0$ 为假

$x > 0$ 为真

$x < - 4$ 为真

$- 4 < x < 0$ 为假

$x > 0$ 为真

解题步骤 1.2.8

解由使等式成立的所有区间组成。

$x < - 4$ 或 $x \geq 0$

解题步骤 1.3

在 $\frac{x}{x + 4}$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$\frac{x}{x + 4} < 5$

解题步骤 1.4

求 $\frac{x}{x + 4} < 5$ 的定义域，并求与 $x < - 4 or x \geq 0$ 的交点。

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解题步骤 1.4.1

求 $\frac{x}{x + 4} < 5$ 的定义域。

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解题步骤 1.4.1.1

将 $\frac{x}{x + 4}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x + 4 = 0$

解题步骤 1.4.1.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 1.4.1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

解题步骤 1.4.2

求 $x < - 4 or x \geq 0$ 和 $(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$ 的交点。

$x < - 4 or x \geq 0$

解题步骤 1.5

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$\frac{x}{x + 4} < 0$

解题步骤 1.6

求解不等式。

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解题步骤 1.6.1

通过把每个因数设为 $0$ 并求解的方式求表达式从负变为正的所有值。

$x = 0$

$x + 4 = 0$

解题步骤 1.6.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 1.6.3

求解每个因式，以求出绝对值表达式从负数变为正数的值。

$x = 0$

$x = - 4$

解题步骤 1.6.4

合并解集。

$x = 0, - 4$

解题步骤 1.6.5

求 $| \frac{x}{x + 4} | - 5$ 的定义域。

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解题步骤 1.6.5.1

将 $\frac{x}{x + 4}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x + 4 = 0$

解题步骤 1.6.5.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 1.6.5.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

解题步骤 1.6.6

使用每一个根建立验证区间。

$x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$x > 0$

解题步骤 1.6.7

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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解题步骤 1.6.7.1

检验区间 $x < - 4$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 1.6.7.1.1

选择区间 $x < - 4$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 6$

解题步骤 1.6.7.1.2

使用原不等式中的 $- 6$ 替换 $x$ 。

$\frac{- 6}{(- 6) + 4} < 0$

解题步骤 1.6.7.1.3

左边的 $3$ 不小于右边的 $0$ ，即给定的命题是假命题。

False

解题步骤 1.6.7.2

检验区间 $- 4 < x < 0$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 1.6.7.2.1

选择区间 $- 4 < x < 0$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 2$

解题步骤 1.6.7.2.2

使用原不等式中的 $- 2$ 替换 $x$ 。

$\frac{- 2}{(- 2) + 4} < 0$

解题步骤 1.6.7.2.3

左边的 $- 1$ 小于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

解题步骤 1.6.7.3

检验区间 $x > 0$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 1.6.7.3.1

选择区间 $x > 0$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 2$

解题步骤 1.6.7.3.2

使用原不等式中的 $2$ 替换 $x$ 。

$\frac{2}{(2) + 4} < 0$

解题步骤 1.6.7.3.3

左边的 $0.\overline{3}$ 不小于右边的 $0$ ，即给定的命题是假命题。

False

解题步骤 1.6.7.4

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$x < - 4$ 为假

$- 4 < x < 0$ 为真

$x > 0$ 为假

$x < - 4$ 为假

$- 4 < x < 0$ 为真

$x > 0$ 为假

解题步骤 1.6.8

解由使等式成立的所有区间组成。

$- 4 < x < 0$

解题步骤 1.7

在 $\frac{x}{x + 4}$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- \frac{x}{x + 4} < 5$

解题步骤 1.8

求 $- \frac{x}{x + 4} < 5$ 的定义域，并求与 $- 4 < x < 0$ 的交点。

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解题步骤 1.8.1

求 $- \frac{x}{x + 4} < 5$ 的定义域。

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解题步骤 1.8.1.1

将 $\frac{x}{x + 4}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x + 4 = 0$

解题步骤 1.8.1.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 1.8.1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

解题步骤 1.8.2

求 $- 4 < x < 0$ 和 $(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$ 的交点。

$- 4 < x < 0$

解题步骤 1.9

书写为分段式。

${\begin{cases} \frac{x}{x + 4} < 5 & x < - 4 or x \geq 0 \\ - \frac{x}{x + 4} < 5 & - 4 < x < 0 \end{cases}$

解题步骤 2

当 $x < - 4 or x \geq 0$ 时求解 $\frac{x}{x + 4} < 5$ 。

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解题步骤 2.1

求解 $x$ 的 $\frac{x}{x + 4} < 5$ 。

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解题步骤 2.1.1

从不等式两边同时减去 $5$ 。

$\frac{x}{x + 4} - 5 < 0$

解题步骤 2.1.2

化简 $\frac{x}{x + 4} - 5$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

要将 $- 5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 4}{x + 4}$ 。

$\frac{x}{x + 4} - 5 \cdot \frac{x + 4}{x + 4} < 0$

解题步骤 2.1.2.2

组合 $- 5$ 和 $\frac{x + 4}{x + 4}$ 。

$\frac{x}{x + 4} + \frac{- 5 (x + 4)}{x + 4} < 0$

解题步骤 2.1.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{x - 5 (x + 4)}{x + 4} < 0$

解题步骤 2.1.2.4

化简分子。

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解题步骤 2.1.2.4.1

运用分配律。

$\frac{x - 5 x - 5 \cdot 4}{x + 4} < 0$

解题步骤 2.1.2.4.2

将 $- 5$ 乘以 $4$ 。

$\frac{x - 5 x - 20}{x + 4} < 0$

解题步骤 2.1.2.4.3

从 $x$ 中减去 $5 x$ 。

$\frac{- 4 x - 20}{x + 4} < 0$

解题步骤 2.1.2.4.4

从 $- 4 x - 20$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 2.1.2.4.4.1

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- x) - 20}{x + 4} < 0$

解题步骤 2.1.2.4.4.2

从 $- 20$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- x) + 4 (- 5)}{x + 4} < 0$

解题步骤 2.1.2.4.4.3

从 $4 (- x) + 4 (- 5)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- x - 5)}{x + 4} < 0$

解题步骤 2.1.2.5

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 (- (x) - 5)}{x + 4} < 0$

解题步骤 2.1.2.6

将 $- 5$ 重写为 $- 1 (5)$ 。

$\frac{4 (- (x) - 1 (5))}{x + 4} < 0$

解题步骤 2.1.2.7

从 $- (x) - 1 (5)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 (- (x + 5))}{x + 4} < 0$

解题步骤 2.1.2.8

将 $- (x + 5)$ 重写为 $- 1 (x + 5)$ 。

$\frac{4 (- 1 (x + 5))}{x + 4} < 0$

解题步骤 2.1.2.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4 (x + 5)}{x + 4} < 0$

解题步骤 2.1.3

通过把每个因数设为 $0$ 并求解的方式求表达式从负变为正的所有值。

$x + 5 = 0$

$x + 4 = 0$

解题步骤 2.1.4

从等式两边同时减去 $5$ 。

$x = - 5$

解题步骤 2.1.5

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 2.1.6

求解每个因式，以求出绝对值表达式从负数变为正数的值。

$x = - 5$

$x = - 4$

解题步骤 2.1.7

合并解集。

$x = - 5, - 4$

解题步骤 2.1.8

求 $- \frac{4 (x + 5)}{x + 4}$ 的定义域。

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解题步骤 2.1.8.1

将 $\frac{4 (x + 5)}{x + 4}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x + 4 = 0$

解题步骤 2.1.8.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 2.1.8.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

解题步骤 2.1.9

使用每一个根建立验证区间。

$x < - 5$

$- 5 < x < - 4$

$x > - 4$

解题步骤 2.1.10

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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解题步骤 2.1.10.1

检验区间 $x < - 5$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 2.1.10.1.1

选择区间 $x < - 5$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 8$

解题步骤 2.1.10.1.2

使用原不等式中的 $- 8$ 替换 $x$ 。

$\frac{- 8}{(- 8) + 4} < 5$

解题步骤 2.1.10.1.3

左边的 $2$ 小于右边的 $5$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

解题步骤 2.1.10.2

检验区间 $- 5 < x < - 4$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 2.1.10.2.1

选择区间 $- 5 < x < - 4$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 4.5$

解题步骤 2.1.10.2.2

使用原不等式中的 $- 4.5$ 替换 $x$ 。

$\frac{- 4.5}{(- 4.5) + 4} < 5$

解题步骤 2.1.10.2.3

左边的 $9$ 不小于右边的 $5$ ，即给定的命题是假命题。

False

解题步骤 2.1.10.3

检验区间 $x > - 4$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 2.1.10.3.1

选择区间 $x > - 4$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 0$

解题步骤 2.1.10.3.2

使用原不等式中的 $0$ 替换 $x$ 。

$\frac{0}{(0) + 4} < 5$

解题步骤 2.1.10.3.3

左边的 $0$ 小于右边的 $5$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

解题步骤 2.1.10.4

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$x < - 5$ 为真

$- 5 < x < - 4$ 为假

$x > - 4$ 为真

$x < - 5$ 为真

$- 5 < x < - 4$ 为假

$x > - 4$ 为真

解题步骤 2.1.11

解由使等式成立的所有区间组成。

$x < - 5$ 或 $x > - 4$

解题步骤 2.2

求 $x < - 5 or x > - 4$ 和 $x < - 4 or x \geq 0$ 的交点。

$x < - 5$ 或 $x \geq 0$

解题步骤 3

当 $- 4 < x < 0$ 时求解 $- \frac{x}{x + 4} < 5$ 。

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解题步骤 3.1

求解 $x$ 的 $- \frac{x}{x + 4} < 5$ 。

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解题步骤 3.1.1

从不等式两边同时减去 $5$ 。

$- \frac{x}{x + 4} - 5 < 0$

解题步骤 3.1.2

化简 $- \frac{x}{x + 4} - 5$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

要将 $- 5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 4}{x + 4}$ 。

$- \frac{x}{x + 4} - 5 \cdot \frac{x + 4}{x + 4} < 0$

解题步骤 3.1.2.2

组合 $- 5$ 和 $\frac{x + 4}{x + 4}$ 。

$- \frac{x}{x + 4} + \frac{- 5 (x + 4)}{x + 4} < 0$

解题步骤 3.1.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- x - 5 (x + 4)}{x + 4} < 0$

解题步骤 3.1.2.4

化简分子。

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解题步骤 3.1.2.4.1

运用分配律。

$\frac{- x - 5 x - 5 \cdot 4}{x + 4} < 0$

解题步骤 3.1.2.4.2

将 $- 5$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- x - 5 x - 20}{x + 4} < 0$

解题步骤 3.1.2.4.3

从 $- x$ 中减去 $5 x$ 。

$\frac{- 6 x - 20}{x + 4} < 0$

解题步骤 3.1.2.4.4

从 $- 6 x - 20$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.1.2.4.4.1

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 3 x) - 20}{x + 4} < 0$

解题步骤 3.1.2.4.4.2

从 $- 20$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 3 x) + 2 (- 10)}{x + 4} < 0$

解题步骤 3.1.2.4.4.3

从 $2 (- 3 x) + 2 (- 10)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 3 x - 10)}{x + 4} < 0$

解题步骤 3.1.2.5

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (3 x) - 10)}{x + 4} < 0$

解题步骤 3.1.2.6

将 $- 10$ 重写为 $- 1 (10)$ 。

$\frac{2 (- (3 x) - 1 (10))}{x + 4} < 0$

解题步骤 3.1.2.7

从 $- (3 x) - 1 (10)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (3 x + 10))}{x + 4} < 0$

解题步骤 3.1.2.8

将 $- (3 x + 10)$ 重写为 $- 1 (3 x + 10)$ 。

$\frac{2 (- 1 (3 x + 10))}{x + 4} < 0$

解题步骤 3.1.2.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 (3 x + 10)}{x + 4} < 0$

解题步骤 3.1.3

通过把每个因数设为 $0$ 并求解的方式求表达式从负变为正的所有值。

$3 x + 10 = 0$

$x + 4 = 0$

解题步骤 3.1.4

从等式两边同时减去 $10$ 。

$3 x = - 10$

解题步骤 3.1.5

将 $3 x = - 10$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 3.1.5.1

将 $3 x = - 10$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 10}{3}$

解题步骤 3.1.5.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.5.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 10}{3}$

解题步骤 3.1.5.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 10}{3}$

解题步骤 3.1.5.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.5.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{10}{3}$

解题步骤 3.1.6

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 3.1.7

求解每个因式，以求出绝对值表达式从负数变为正数的值。

$x = - \frac{10}{3}$

$x = - 4$

解题步骤 3.1.8

合并解集。

$x = - \frac{10}{3}, - 4$

解题步骤 3.1.9

求 $- \frac{2 (3 x + 10)}{x + 4}$ 的定义域。

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解题步骤 3.1.9.1

将 $\frac{2 (3 x + 10)}{x + 4}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x + 4 = 0$

解题步骤 3.1.9.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 3.1.9.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

解题步骤 3.1.10

使用每一个根建立验证区间。

$x < - 4$

$- 4 < x < - \frac{10}{3}$

$x > - \frac{10}{3}$

解题步骤 3.1.11

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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解题步骤 3.1.11.1

检验区间 $x < - 4$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 3.1.11.1.1

选择区间 $x < - 4$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 6$

解题步骤 3.1.11.1.2

使用原不等式中的 $- 6$ 替换 $x$ 。

$- \frac{- 6}{(- 6) + 4} < 5$

解题步骤 3.1.11.1.3

左边的 $- 3$ 小于右边的 $5$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

解题步骤 3.1.11.2

检验区间 $- 4 < x < - \frac{10}{3}$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 3.1.11.2.1

选择区间 $- 4 < x < - \frac{10}{3}$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 3.67$

解题步骤 3.1.11.2.2

使用原不等式中的 $- 3.67$ 替换 $x$ 。

$- \frac{- 3.67}{(- 3.67) + 4} < 5$

解题步骤 3.1.11.2.3

左边的 $11.\overline{12}$ 不小于右边的 $5$ ，即给定的命题是假命题。

False

解题步骤 3.1.11.3

检验区间 $x > - \frac{10}{3}$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 3.1.11.3.1

选择区间 $x > - \frac{10}{3}$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 0$

解题步骤 3.1.11.3.2

使用原不等式中的 $0$ 替换 $x$ 。

$- \frac{0}{(0) + 4} < 5$

解题步骤 3.1.11.3.3

左边的 $0$ 小于右边的 $5$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

解题步骤 3.1.11.4

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$x < - 4$ 为真

$- 4 < x < - \frac{10}{3}$ 为假

$x > - \frac{10}{3}$ 为真

$x < - 4$ 为真

$- 4 < x < - \frac{10}{3}$ 为假

$x > - \frac{10}{3}$ 为真

解题步骤 3.1.12

解由使等式成立的所有区间组成。

$x < - 4$ 或 $x > - \frac{10}{3}$

解题步骤 3.2

求 $x < - 4 or x > - \frac{10}{3}$ 和 $- 4 < x < 0$ 的交点。

$- \frac{10}{3} < x < 0$

解题步骤 4

求解的并集。

$x < - 5$ 或 $x > - \frac{10}{3}$

解题步骤 5

把不等式转换成区间计数法。

$(- \infty, - 5) \cup (- \frac{10}{3}, \infty)$

解题步骤 6

初级微积分 示例

初级微积分示例