初级微积分示例

$f (x) = 2 x^{2} - x - 3$ , $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 1

计算 $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ 中的分子。

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解题步骤 1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{2} - (x + h) - 3$

解题步骤 1.2

使用实际的函数来替换 $f (x + h) - f (x)$ 中的函数指示符。

$(2 {(x + h)}^{2} - (x + h) - 3) - (2 x^{2} - x - 3)$

解题步骤 1.3

化简 $(2 {(x + h)}^{2} - (x + h) - 3) - (2 x^{2} - x - 3)$ 。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 ${(x + h)}^{2}$ 重写为 $(x + h) (x + h)$ 。

$2 ((x + h) (x + h)) - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

解题步骤 1.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + h) (x + h)$ 。

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解题步骤 1.3.1.2.1

运用分配律。

$2 (x (x + h) + h (x + h)) - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

解题步骤 1.3.1.2.2

运用分配律。

$2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

解题步骤 1.3.1.2.3

运用分配律。

$2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

解题步骤 1.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

解题步骤 1.3.1.3.1.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

解题步骤 1.3.1.3.2

将 $x h$ 和 $h x$ 相加。

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解题步骤 1.3.1.3.2.1

将 $x$ 和 $h$ 重新排序。

$2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

解题步骤 1.3.1.3.2.2

将 $h x$ 和 $h x$ 相加。

$2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

解题步骤 1.3.1.4

运用分配律。

$2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

解题步骤 1.3.1.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

解题步骤 1.3.1.6

运用分配律。

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

解题步骤 1.3.1.7

运用分配律。

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3 - (2 x^{2}) - - x - - 3$

解题步骤 1.3.1.8

化简。

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解题步骤 1.3.1.8.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3 - 2 x^{2} - - x - - 3$

解题步骤 1.3.1.8.2

乘以 $- - x$ 。

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解题步骤 1.3.1.8.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3 - 2 x^{2} + 1 x - - 3$

解题步骤 1.3.1.8.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3 - 2 x^{2} + x - - 3$

解题步骤 1.3.1.8.3

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3 - 2 x^{2} + x + 3$

解题步骤 1.3.2

合并 $2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3 - 2 x^{2} + x + 3$ 中相反的项。

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解题步骤 1.3.2.1

从 $2 x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3 + 0 + x + 3$

解题步骤 1.3.2.2

将 $4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3$ 和 $0$ 相加。

$4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3 + x + 3$

解题步骤 1.3.2.3

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$4 h x + 2 h^{2} - h - 3 + 0 + 3$

解题步骤 1.3.2.4

将 $4 h x + 2 h^{2} - h - 3$ 和 $0$ 相加。

$4 h x + 2 h^{2} - h - 3 + 3$

解题步骤 1.3.2.5

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$4 h x + 2 h^{2} - h + 0$

解题步骤 1.3.2.6

将 $4 h x + 2 h^{2} - h$ 和 $0$ 相加。

$4 h x + 2 h^{2} - h$

解题步骤 2

重写 $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ 。

$\frac{4 h x + 2 h^{2} - h}{h}$

解题步骤 3

化简 $\frac{4 h x + 2 h^{2} - h}{h}$ 。

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解题步骤 3.1

从 $4 h x + 2 h^{2} - h$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $4 h x$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (4 x) + 2 h^{2} - h}{h}$

解题步骤 3.1.2

从 $2 h^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (4 x) + h (2 h) - h}{h}$

解题步骤 3.1.3

从 $- h$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (4 x) + h (2 h) + h \cdot - 1}{h}$

解题步骤 3.1.4

从 $h (4 x) + h (2 h)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (4 x + 2 h) + h \cdot - 1}{h}$

解题步骤 3.1.5

从 $h (4 x + 2 h) + h \cdot - 1$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (4 x + 2 h - 1)}{h}$

解题步骤 3.2

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

约去公因数。

$\frac{h (4 x + 2 h - 1)}{h}$

解题步骤 3.2.2

用 $4 x + 2 h - 1$ 除以 $1$ 。

$4 x + 2 h - 1$

解题步骤 3.3

将 $4 x$ 和 $2 h$ 重新排序。

$2 h + 4 x - 1$

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