初级微积分示例

$13 x^{4} + 12 x^{3} - 27 x^{2} - 24 x + 2$

解题步骤 1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 13$

解题步骤 2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm \frac{1}{13}, \pm 2, \pm \frac{2}{13}$

解题步骤 3

将可能的根逐一代入多项式以求实际根。化简以验证其值是否为 $0$ ，如果是则表示这是一个根。

$13 {(- 1)}^{4} + 12 {(- 1)}^{3} - 27 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 2$

解题步骤 4

化简表达式。在本例中，因为表达式等于 $0$ ，所以 $x = - 1$ 是多项式的根。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$13 \cdot 1 + 12 {(- 1)}^{3} - 27 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 2$

解题步骤 4.1.2

将 $13$ 乘以 $1$ 。

$13 + 12 {(- 1)}^{3} - 27 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 2$

解题步骤 4.1.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$13 + 12 \cdot - 1 - 27 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 2$

解题步骤 4.1.4

将 $12$ 乘以 $- 1$ 。

$13 - 12 - 27 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 2$

解题步骤 4.1.5

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$13 - 12 - 27 \cdot 1 - 24 \cdot - 1 + 2$

解题步骤 4.1.6

将 $- 27$ 乘以 $1$ 。

$13 - 12 - 27 - 24 \cdot - 1 + 2$

解题步骤 4.1.7

将 $- 24$ 乘以 $- 1$ 。

$13 - 12 - 27 + 24 + 2$

解题步骤 4.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.2.1

从 $13$ 中减去 $12$ 。

$1 - 27 + 24 + 2$

解题步骤 4.2.2

从 $1$ 中减去 $27$ 。

$- 26 + 24 + 2$

解题步骤 4.2.3

将 $- 26$ 和 $24$ 相加。

$- 2 + 2$

解题步骤 4.2.4

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$0$

解题步骤 5

因为 $- 1$ 是一个已知根，所以将多项式除以 $x + 1$ 求商多项式。然后可以用该多项式来求余下根。

$\frac{13 x^{4} + 12 x^{3} - 27 x^{2} - 24 x + 2}{x + 1}$

解题步骤 6

下一步，求余下多项式的根。多项式的次数将减少 $1$ 。

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解题步骤 6.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$

解题步骤 6.2

将被除数 $(13)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$

	$13$

解题步骤 6.3

将结果 $(13)$ 中的最新项乘以除数 $(- 1)$ 并将 $(- 13)$ 的结果置于被除数 $(12)$ 的下一项下方。

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$
	$13$

解题步骤 6.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$
	$13$	$- 1$

解题步骤 6.5

将结果 $(- 1)$ 中的最新项乘以除数 $(- 1)$ 并将 $(1)$ 的结果置于被除数 $(- 27)$ 的下一项下方。

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$	$1$
	$13$	$- 1$

解题步骤 6.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$	$1$
	$13$	$- 1$	$- 26$

解题步骤 6.7

将结果 $(- 26)$ 中的最新项乘以除数 $(- 1)$ 并将 $(26)$ 的结果置于被除数 $(- 24)$ 的下一项下方。

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$	$1$	$26$
	$13$	$- 1$	$- 26$

解题步骤 6.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$	$1$	$26$
	$13$	$- 1$	$- 26$	$2$

解题步骤 6.9

将结果 $(2)$ 中的最新项乘以除数 $(- 1)$ 并将 $(- 2)$ 的结果置于被除数 $(2)$ 的下一项下方。

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$	$1$	$26$	$- 2$
	$13$	$- 1$	$- 26$	$2$

解题步骤 6.10

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$	$1$	$26$	$- 2$
	$13$	$- 1$	$- 26$	$2$	$0$

解题步骤 6.11

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$13 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 26) x + 2$

解题步骤 6.12

化简商多项式。

$13 x^{3} - x^{2} - 26 x + 2$

解题步骤 7

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 7.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x + 1) (13 x^{3} - x^{2}) - 26 x + 2$

解题步骤 7.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x + 1) + x^{2} (13 x - 1) - 2 (13 x - 1)$

$(x + 1) x^{2} (13 x - 1) - 2 (13 x - 1)$

解题步骤 8

通过因式分解出最大公因数 $13 x - 1$ 来因式分解多项式。

$(x + 1) (13 x - 1) (x^{2} - 2)$

解题步骤 9

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 9.1

重新组合项。

$12 x^{3} - 24 x + 13 x^{4} - 27 x^{2} + 2 = 0$

解题步骤 9.2

从 $12 x^{3} - 24 x$ 中分解出因数 $12 x$ 。

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解题步骤 9.2.1

从 $12 x^{3}$ 中分解出因数 $12 x$ 。

$12 x (x^{2}) - 24 x + 13 x^{4} - 27 x^{2} + 2 = 0$

解题步骤 9.2.2

从 $- 24 x$ 中分解出因数 $12 x$ 。

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 2) + 13 x^{4} - 27 x^{2} + 2 = 0$

解题步骤 9.2.3

从 $12 x (x^{2}) + 12 x (- 2)$ 中分解出因数 $12 x$ 。

$12 x (x^{2} - 2) + 13 x^{4} - 27 x^{2} + 2 = 0$

解题步骤 9.3

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$12 x (x^{2} - 2) + 13 {(x^{2})}^{2} - 27 x^{2} + 2 = 0$

解题步骤 9.4

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$12 x (x^{2} - 2) + 13 u^{2} - 27 u + 2 = 0$

解题步骤 9.5

分组因式分解。

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解题步骤 9.5.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 13 \cdot 2 = 26$ 并且它们的和为 $b = - 27$ 。

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解题步骤 9.5.1.1

从 $- 27 u$ 中分解出因数 $- 27$ 。

$12 x (x^{2} - 2) + 13 u^{2} - 27 u + 2 = 0$

解题步骤 9.5.1.2

把 $- 27$ 重写为 $- 1$ 加 $- 26$

$12 x (x^{2} - 2) + 13 u^{2} + (- 1 - 26) u + 2 = 0$

解题步骤 9.5.1.3

运用分配律。

$12 x (x^{2} - 2) + 13 u^{2} - 1 u - 26 u + 2 = 0$

解题步骤 9.5.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 9.5.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$12 x (x^{2} - 2) + 13 u^{2} - 1 u - 26 u + 2 = 0$

解题步骤 9.5.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$12 x (x^{2} - 2) + u (13 u - 1) - 2 (13 u - 1) = 0$

解题步骤 9.5.3

通过因式分解出最大公因数 $13 u - 1$ 来因式分解多项式。

$12 x (x^{2} - 2) + (13 u - 1) (u - 2) = 0$

解题步骤 9.6

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$12 x (x^{2} - 2) + (13 x^{2} - 1) (x^{2} - 2) = 0$

解题步骤 9.7

从 $12 x (x^{2} - 2) + (13 x^{2} - 1) (x^{2} - 2)$ 中分解出因数 $x^{2} - 2$ 。

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解题步骤 9.7.1

从 $12 x (x^{2} - 2)$ 中分解出因数 $x^{2} - 2$ 。

$(x^{2} - 2) (12 x) + (13 x^{2} - 1) (x^{2} - 2) = 0$

解题步骤 9.7.2

从 $(13 x^{2} - 1) (x^{2} - 2)$ 中分解出因数 $x^{2} - 2$ 。

$(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 2) (13 x^{2} - 1) = 0$

解题步骤 9.7.3

从 $(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 2) (13 x^{2} - 1)$ 中分解出因数 $x^{2} - 2$ 。

$(x^{2} - 2) (12 x + 13 x^{2} - 1) = 0$

解题步骤 9.8

使 $u = x$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x$ 。

$(x^{2} - 2) (12 u + 13 u^{2} - 1) = 0$

解题步骤 9.9

分组因式分解。

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解题步骤 9.9.1

重新排序项。

$(x^{2} - 2) (13 u^{2} + 12 u - 1) = 0$

解题步骤 9.9.2

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 13 \cdot - 1 = - 13$ 并且它们的和为 $b = 12$ 。

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解题步骤 9.9.2.1

从 $12 u$ 中分解出因数 $12$ 。

$(x^{2} - 2) (13 u^{2} + 12 (u) - 1) = 0$

解题步骤 9.9.2.2

把 $12$ 重写为 $- 1$ 加 $13$

$(x^{2} - 2) (13 u^{2} + (- 1 + 13) u - 1) = 0$

解题步骤 9.9.2.3

运用分配律。

$(x^{2} - 2) (13 u^{2} - 1 u + 13 u - 1) = 0$

解题步骤 9.9.3

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 9.9.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x^{2} - 2) ((13 u^{2} - 1 u) + 13 u - 1) = 0$

解题步骤 9.9.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x^{2} - 2) (u (13 u - 1) + 1 (13 u - 1)) = 0$

解题步骤 9.9.4

通过因式分解出最大公因数 $13 u - 1$ 来因式分解多项式。

$(x^{2} - 2) ((13 u - 1) (u + 1)) = 0$

解题步骤 9.10

因数。

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解题步骤 9.10.1

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x^{2} - 2) ((13 x - 1) (x + 1)) = 0$

解题步骤 9.10.2

去掉多余的括号。

$(x^{2} - 2) (13 x - 1) (x + 1) = 0$

解题步骤 10

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} - 2 = 0$

$13 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

解题步骤 11

将 $x^{2} - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

将 $x^{2} - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 2 = 0$

解题步骤 11.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 2 = 0$ 。

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解题步骤 11.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$x^{2} = 2$

解题步骤 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

解题步骤 11.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 11.2.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{2}$

解题步骤 11.2.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{2}$

解题步骤 11.2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

解题步骤 12

将 $13 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

将 $13 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$13 x - 1 = 0$

解题步骤 12.2

求解 $x$ 的 $13 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 12.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$13 x = 1$

解题步骤 12.2.2

将 $13 x = 1$ 中的每一项除以 $13$ 并化简。

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解题步骤 12.2.2.1

将 $13 x = 1$ 中的每一项都除以 $13$ 。

$\frac{13 x}{13} = \frac{1}{13}$

解题步骤 12.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 12.2.2.2.1

约去 $13$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{13 x}{13} = \frac{1}{13}$

解题步骤 12.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{13}$

解题步骤 13

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 13.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 13.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 14

最终解为使 $(x^{2} - 2) (13 x - 1) (x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, \frac{1}{13}, - 1$

解题步骤 15

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, \frac{1}{13}, - 1$

小数形式：

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, 0.\overline{076923}, - 1$

解题步骤 16

初级微积分 示例

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