初级微积分示例

$x^{4} + 4 x^{3} - 14 x^{2} - 36 x + 45$

解题步骤 1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 45$

$q = \pm 1$

解题步骤 2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 45$

解题步骤 3

将可能的根逐一代入多项式以求实际根。化简以验证其值是否为 $0$ ，如果是则表示这是一个根。

${(1)}^{4} + 4 {(1)}^{3} - 14 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 45$

解题步骤 4

化简表达式。在本例中，因为表达式等于 $0$ ，所以 $x = 1$ 是多项式的根。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

一的任意次幂都为一。

$1 + 4 {(1)}^{3} - 14 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 45$

解题步骤 4.1.2

一的任意次幂都为一。

$1 + 4 \cdot 1 - 14 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 45$

解题步骤 4.1.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$1 + 4 - 14 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 45$

解题步骤 4.1.4

一的任意次幂都为一。

$1 + 4 - 14 \cdot 1 - 36 \cdot 1 + 45$

解题步骤 4.1.5

将 $- 14$ 乘以 $1$ 。

$1 + 4 - 14 - 36 \cdot 1 + 45$

解题步骤 4.1.6

将 $- 36$ 乘以 $1$ 。

$1 + 4 - 14 - 36 + 45$

解题步骤 4.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$5 - 14 - 36 + 45$

解题步骤 4.2.2

从 $5$ 中减去 $14$ 。

$- 9 - 36 + 45$

解题步骤 4.2.3

从 $- 9$ 中减去 $36$ 。

$- 45 + 45$

解题步骤 4.2.4

将 $- 45$ 和 $45$ 相加。

$0$

解题步骤 5

因为 $1$ 是一个已知根，所以将多项式除以 $x - 1$ 求商多项式。然后可以用该多项式来求余下根。

$\frac{x^{4} + 4 x^{3} - 14 x^{2} - 36 x + 45}{x - 1}$

解题步骤 6

下一步，求余下多项式的根。多项式的次数将减少 $1$ 。

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解题步骤 6.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$

解题步骤 6.2

将被除数 $(1)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$

	$1$

解题步骤 6.3

将结果 $(1)$ 中的最新项乘以除数 $(1)$ 并将 $(1)$ 的结果置于被除数 $(4)$ 的下一项下方。

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$
	$1$

解题步骤 6.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$
	$1$	$5$

解题步骤 6.5

将结果 $(5)$ 中的最新项乘以除数 $(1)$ 并将 $(5)$ 的结果置于被除数 $(- 14)$ 的下一项下方。

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$
	$1$	$5$

解题步骤 6.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$
	$1$	$5$	$- 9$

解题步骤 6.7

将结果 $(- 9)$ 中的最新项乘以除数 $(1)$ 并将 $(- 9)$ 的结果置于被除数 $(- 36)$ 的下一项下方。

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$	$- 9$
	$1$	$5$	$- 9$

解题步骤 6.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$	$- 9$
	$1$	$5$	$- 9$	$- 45$

解题步骤 6.9

将结果 $(- 45)$ 中的最新项乘以除数 $(1)$ 并将 $(- 45)$ 的结果置于被除数 $(45)$ 的下一项下方。

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$	$- 9$	$- 45$
	$1$	$5$	$- 9$	$- 45$

解题步骤 6.10

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$	$- 9$	$- 45$
	$1$	$5$	$- 9$	$- 45$	$0$

解题步骤 6.11

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$1 x^{3} + 5 x^{2} + (- 9) x - 45$

解题步骤 6.12

化简商多项式。

$x^{3} + 5 x^{2} - 9 x - 45$

解题步骤 7

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 7.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x - 1) (x^{3} + 5 x^{2}) - 9 x - 45$

解题步骤 7.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x - 1) + x^{2} (x + 5) - 9 (x + 5)$

$(x - 1) x^{2} (x + 5) - 9 (x + 5)$

解题步骤 8

通过因式分解出最大公因数 $x + 5$ 来因式分解多项式。

$(x - 1) (x + 5) (x^{2} - 9)$

解题步骤 9

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$(x - 1) (x + 5) (x^{2} - 3^{2})$

解题步骤 10

因数。

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解题步骤 10.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$(x - 1) + (x + 5) ((x + 3) (x - 3))$

解题步骤 10.2

去掉多余的括号。

$(x - 1) + (x + 5) (x + 3) (x - 3)$

$(x - 1) (x + 5) (x + 3) (x - 3)$

解题步骤 11

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 11.1

重新组合项。

$4 x^{3} - 36 x + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

解题步骤 11.2

从 $4 x^{3} - 36 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

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解题步骤 11.2.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) - 36 x + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

解题步骤 11.2.2

从 $- 36 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 9) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

解题步骤 11.2.3

从 $4 x (x^{2}) + 4 x (- 9)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2} - 9) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

解题步骤 11.3

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$4 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

解题步骤 11.4

因数。

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解题步骤 11.4.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$4 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

解题步骤 11.4.2

去掉多余的括号。

$4 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

解题步骤 11.5

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$4 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 14 x^{2} + 45 = 0$

解题步骤 11.6

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$4 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 14 u + 45 = 0$

解题步骤 11.7

使用 AC 法来对 $u^{2} - 14 u + 45$ 进行因式分解。

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解题步骤 11.7.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $45$ ，和为 $- 14$ 。

$- 9, - 5$

解题步骤 11.7.2

使用这些整数书写分数形式。

$4 x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u - 5) = 0$

解题步骤 11.8

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} - 5) = 0$

解题步骤 11.9

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$4 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} - 5) = 0$

解题步骤 11.10

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$4 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 5) = 0$

解题步骤 11.11

从 $4 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 5)$ 中分解出因数 $(x + 3) (x - 3)$ 。

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解题步骤 11.11.1

从 $4 x (x + 3) (x - 3)$ 中分解出因数 $(x + 3) (x - 3)$ 。

$(x + 3) (x - 3) (4 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 5) = 0$

解题步骤 11.11.2

从 $(x + 3) (x - 3) (4 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 5)$ 中分解出因数 $(x + 3) (x - 3)$ 。

$(x + 3) (x - 3) (4 x + x^{2} - 5) = 0$

解题步骤 11.12

使 $u = x$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x$ 。

$(x + 3) (x - 3) (4 u + u^{2} - 5) = 0$

解题步骤 11.13

使用 AC 法来对 $4 u + u^{2} - 5$ 进行因式分解。

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解题步骤 11.13.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 5$ ，和为 $4$ 。

$- 1, 5$

解题步骤 11.13.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x + 3) (x - 3) ((u - 1) (u + 5)) = 0$

解题步骤 11.14

因数。

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解题步骤 11.14.1

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x + 3) (x - 3) ((x - 1) (x + 5)) = 0$

解题步骤 11.14.2

去掉多余的括号。

$(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x + 5) = 0$

解题步骤 12

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

解题步骤 13

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 13.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 13.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 14

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 14.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 14.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 15

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 15.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 15.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 16

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 16.1

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 。

$x + 5 = 0$

解题步骤 16.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$x = - 5$

解题步骤 17

最终解为使 $(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x + 5) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 3, 3, 1, - 5$

解题步骤 18

初级微积分 示例

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