初级微积分示例

$x^{4} - 625$

解题步骤 1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25, \pm 125, \pm 625$

$q = \pm 1$

解题步骤 2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 5, \pm 25, \pm 125, \pm 625$

解题步骤 3

将可能的根逐一代入多项式以求实际根。化简以验证其值是否为 $0$ ，如果是则表示这是一个根。

${(5)}^{4} - 625$

解题步骤 4

化简表达式。在本例中，因为表达式等于 $0$ ，所以 $x = 5$ 是多项式的根。

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解题步骤 4.1

对 $5$ 进行 $4$ 次方运算。

$625 - 625$

解题步骤 4.2

从 $625$ 中减去 $625$ 。

$0$

解题步骤 5

因为 $5$ 是一个已知根，所以将多项式除以 $x - 5$ 求商多项式。然后可以用该多项式来求余下根。

$\frac{x^{4} - 625}{x - 5}$

解题步骤 6

下一步，求余下多项式的根。多项式的次数将减少 $1$ 。

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解题步骤 6.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$5$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 625$

解题步骤 6.2

将被除数 $(1)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$5$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 625$

	$1$

解题步骤 6.3

将结果 $(1)$ 中的最新项乘以除数 $(5)$ 并将 $(5)$ 的结果置于被除数 $(0)$ 的下一项下方。

$5$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 625$
		$5$
	$1$

解题步骤 6.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$5$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 625$
		$5$
	$1$	$5$

解题步骤 6.5

将结果 $(5)$ 中的最新项乘以除数 $(5)$ 并将 $(25)$ 的结果置于被除数 $(0)$ 的下一项下方。

$5$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 625$
		$5$	$25$
	$1$	$5$

解题步骤 6.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$5$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 625$
		$5$	$25$
	$1$	$5$	$25$

解题步骤 6.7

将结果 $(25)$ 中的最新项乘以除数 $(5)$ 并将 $(125)$ 的结果置于被除数 $(0)$ 的下一项下方。

$5$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 625$
		$5$	$25$	$125$
	$1$	$5$	$25$

解题步骤 6.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$5$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 625$
		$5$	$25$	$125$
	$1$	$5$	$25$	$125$

解题步骤 6.9

将结果 $(125)$ 中的最新项乘以除数 $(5)$ 并将 $(625)$ 的结果置于被除数 $(- 625)$ 的下一项下方。

$5$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 625$
		$5$	$25$	$125$	$625$
	$1$	$5$	$25$	$125$

解题步骤 6.10

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$5$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 625$
		$5$	$25$	$125$	$625$
	$1$	$5$	$25$	$125$	$0$

解题步骤 6.11

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$1 x^{3} + 5 x^{2} + (25) x + 125$

解题步骤 6.12

化简商多项式。

$x^{3} + 5 x^{2} + 25 x + 125$

解题步骤 7

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 7.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x - 5) (x^{3} + 5 x^{2}) + 25 x + 125$

解题步骤 7.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x - 5) + x^{2} (x + 5) + 25 (x + 5)$

$(x - 5) x^{2} (x + 5) + 25 (x + 5)$

解题步骤 8

通过因式分解出最大公因数 $x + 5$ 来因式分解多项式。

$(x - 5) (x + 5) (x^{2} + 25)$

解题步骤 9

在等式两边都加上 $625$ 。

$x^{4} = 625$

解题步骤 10

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{625}$

解题步骤 11

化简 $\pm \sqrt[4]{625}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $625$ 重写为 $5^{4}$ 。

$x = \pm \sqrt[4]{5^{4}}$

解题步骤 11.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 5$

解题步骤 12

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 12.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 5$

解题步骤 12.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 5$

解题步骤 12.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 5, - 5$

解题步骤 13

初级微积分 示例

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