初级微积分示例

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$

解题步骤 1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

解题步骤 2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

解题步骤 3

将可能的根逐一代入多项式以求实际根。化简以验证其值是否为 $0$ ，如果是则表示这是一个根。

${(2)}^{3} - 6 {(2)}^{2} + 12 (2) - 8$

解题步骤 4

化简表达式。在本例中，因为表达式等于 $0$ ，所以 $x = 2$ 是多项式的根。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 - 6 {(2)}^{2} + 12 (2) - 8$

解题步骤 4.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$8 - 6 \cdot 4 + 12 (2) - 8$

解题步骤 4.1.3

将 $- 6$ 乘以 $4$ 。

$8 - 24 + 12 (2) - 8$

解题步骤 4.1.4

将 $12$ 乘以 $2$ 。

$8 - 24 + 24 - 8$

解题步骤 4.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.2.1

从 $8$ 中减去 $24$ 。

$- 16 + 24 - 8$

解题步骤 4.2.2

将 $- 16$ 和 $24$ 相加。

$8 - 8$

解题步骤 4.2.3

从 $8$ 中减去 $8$ 。

$0$

解题步骤 5

因为 $2$ 是一个已知根，所以将多项式除以 $x - 2$ 求商多项式。然后可以用该多项式来求余下根。

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x - 2}$

解题步骤 6

下一步，求余下多项式的根。多项式的次数将减少 $1$ 。

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解题步骤 6.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$

解题步骤 6.2

将被除数 $(1)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$

	$1$

解题步骤 6.3

将结果 $(1)$ 中的最新项乘以除数 $(2)$ 并将 $(2)$ 的结果置于被除数 $(- 6)$ 的下一项下方。

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$
		$2$
	$1$

解题步骤 6.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$
		$2$
	$1$	$- 4$

解题步骤 6.5

将结果 $(- 4)$ 中的最新项乘以除数 $(2)$ 并将 $(- 8)$ 的结果置于被除数 $(12)$ 的下一项下方。

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$
		$2$	$- 8$
	$1$	$- 4$

解题步骤 6.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$
		$2$	$- 8$
	$1$	$- 4$	$4$

解题步骤 6.7

将结果 $(4)$ 中的最新项乘以除数 $(2)$ 并将 $(8)$ 的结果置于被除数 $(- 8)$ 的下一项下方。

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$
		$2$	$- 8$	$8$
	$1$	$- 4$	$4$

解题步骤 6.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$
		$2$	$- 8$	$8$
	$1$	$- 4$	$4$	$0$

解题步骤 6.9

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$1 x^{2} + - 4 x + 4$

解题步骤 6.10

化简商多项式。

$x^{2} - 4 x + 4$

解题步骤 7

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 7.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$(x - 2) + x^{2} - 4 x + 2^{2}$

解题步骤 7.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

解题步骤 7.3

重写多项式。

$(x - 2) + x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}$

解题步骤 7.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$(x - 2) + {(x - 2)}^{2}$

$(x - 2) {(x - 2)}^{2}$

解题步骤 8

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 8.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ 。

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解题步骤 8.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

解题步骤 8.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

解题步骤 8.1.3

代入 $2$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $2$ 是多项式的根。

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解题步骤 8.1.3.1

将 $2$ 代入多项式。

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

解题步骤 8.1.3.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

解题步骤 8.1.3.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$8 - 6 \cdot 4 + 12 \cdot 2 - 8$

解题步骤 8.1.3.4

将 $- 6$ 乘以 $4$ 。

$8 - 24 + 12 \cdot 2 - 8$

解题步骤 8.1.3.5

从 $8$ 中减去 $24$ 。

$- 16 + 12 \cdot 2 - 8$

解题步骤 8.1.3.6

将 $12$ 乘以 $2$ 。

$- 16 + 24 - 8$

解题步骤 8.1.3.7

将 $- 16$ 和 $24$ 相加。

$8 - 8$

解题步骤 8.1.3.8

从 $8$ 中减去 $8$ 。

$0$

解题步骤 8.1.4

因为 $2$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 2$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x - 2}$

解题步骤 8.1.5

用 $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ 除以 $x - 2$ 。

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解题步骤 8.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$8$

解题步骤 8.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$

解题步骤 8.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

解题步骤 8.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} - 2 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

解题步骤 8.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

解题步骤 8.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

解题步骤 8.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 4 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

解题步骤 8.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

解题步骤 8.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 4 x^{2} + 8 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$

解题步骤 8.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$

解题步骤 8.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

解题步骤 8.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $4 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

解题步骤 8.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							+	$4 x$	-	$8$

解题步骤 8.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 x - 8$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$

解题步骤 8.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$
										$0$

解题步骤 8.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - 4 x + 4$

解题步骤 8.1.6

将 $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ 书写为因数的集合。

$(x - 2) (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

解题步骤 8.2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 8.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$(x - 2) (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

解题步骤 8.2.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

解题步骤 8.2.3

重写多项式。

$(x - 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

解题步骤 8.2.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$(x - 2) {(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 8.3

合并同类因式。

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解题步骤 8.3.1

对 $x - 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x - 2) {(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 8.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(x - 2)}^{1 + 2} = 0$

解题步骤 8.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

${(x - 2)}^{3} = 0$

解题步骤 9

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 10

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 11

初级微积分 示例

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