初级微积分示例

$20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1$

解题步骤 1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20$

解题步骤 2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{5}, \pm \frac{1}{10}, \pm \frac{1}{20}$

解题步骤 3

将可能的根逐一代入多项式以求实际根。化简以验证其值是否为 $0$ ，如果是则表示这是一个根。

$20 {(\frac{1}{2})}^{4} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 4

化简表达式。在本例中，因为表达式等于 $0$ ，所以 $x = \frac{1}{2}$ 是多项式的根。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$20 \frac{1^{4}}{2^{4}} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 4.1.2

一的任意次幂都为一。

$20 \frac{1}{2^{4}} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 4.1.3

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$20 (\frac{1}{16}) + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 4.1.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.4.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (5) \frac{1}{16} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 4.1.4.2

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 \cdot 5 \frac{1}{4 \cdot 4} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 4.1.4.3

约去公因数。

$4 \cdot 5 \frac{1}{4 \cdot 4} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 4.1.4.4

重写表达式。

$5 (\frac{1}{4}) + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 4.1.5

组合 $5$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{5}{4} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 4.1.6

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{5}{4} + 52 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 4.1.7

一的任意次幂都为一。

$\frac{5}{4} + 52 \frac{1}{2^{3}} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 4.1.8

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{5}{4} + 52 (\frac{1}{8}) - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 4.1.9

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.9.1

从 $52$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{5}{4} + 4 (13) \frac{1}{8} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 4.1.9.2

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{5}{4} + 4 \cdot 13 \frac{1}{4 \cdot 2} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 4.1.9.3

约去公因数。

$\frac{5}{4} + 4 \cdot 13 \frac{1}{4 \cdot 2} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 4.1.9.4

重写表达式。

$\frac{5}{4} + 13 (\frac{1}{2}) - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 4.1.10

组合 $13$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 4.1.11

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - 45 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 4.1.12

一的任意次幂都为一。

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - 45 \frac{1}{2^{2}} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 4.1.13

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - 45 (\frac{1}{4}) + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 4.1.14

组合 $- 45$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} + \frac{- 45}{4} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 4.1.15

将负号移到分数的前面。

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - \frac{45}{4} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 4.1.16

组合 $5$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - \frac{45}{4} + \frac{5}{2} + 1$

解题步骤 4.2

合并分数。

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解题步骤 4.2.1

在公分母上合并分子。

$1 + \frac{5 - 45}{4} + \frac{13 + 5}{2}$

解题步骤 4.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.2.2.1

从 $5$ 中减去 $45$ 。

$1 + \frac{- 40}{4} + \frac{13 + 5}{2}$

解题步骤 4.2.2.2

将 $13$ 和 $5$ 相加。

$1 + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2}$

解题步骤 4.3

求公分母。

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解题步骤 4.3.1

将 $1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{1}{1} + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2}$

解题步骤 4.3.2

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2}$

解题步骤 4.3.3

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2}$

解题步骤 4.3.4

将 $\frac{18}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 4.3.5

将 $\frac{18}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.3.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18 \cdot 2}{4}$

解题步骤 4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{4 - 40 + 18 \cdot 2}{4}$

解题步骤 4.5

化简表达式。

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解题步骤 4.5.1

将 $18$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 - 40 + 36}{4}$

解题步骤 4.5.2

从 $4$ 中减去 $40$ 。

$\frac{- 36 + 36}{4}$

解题步骤 4.5.3

将 $- 36$ 和 $36$ 相加。

$\frac{0}{4}$

解题步骤 4.5.4

用 $0$ 除以 $4$ 。

$0$

解题步骤 5

因为 $\frac{1}{2}$ 是一个已知根，所以将多项式除以 $x - \frac{1}{2}$ 求商多项式。然后可以用该多项式来求余下根。

$\frac{20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1}{x - \frac{1}{2}}$

解题步骤 6

下一步，求余下多项式的根。多项式的次数将减少 $1$ 。

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解题步骤 6.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$

解题步骤 6.2

将被除数 $(20)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$

	$20$

解题步骤 6.3

将结果 $(20)$ 中的最新项乘以除数 $(\frac{1}{2})$ 并将 $(10)$ 的结果置于被除数 $(52)$ 的下一项下方。

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$
	$20$

解题步骤 6.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$
	$20$	$62$

解题步骤 6.5

将结果 $(62)$ 中的最新项乘以除数 $(\frac{1}{2})$ 并将 $(31)$ 的结果置于被除数 $(- 45)$ 的下一项下方。

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$
	$20$	$62$

解题步骤 6.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$
	$20$	$62$	$- 14$

解题步骤 6.7

将结果 $(- 14)$ 中的最新项乘以除数 $(\frac{1}{2})$ 并将 $(- 7)$ 的结果置于被除数 $(5)$ 的下一项下方。

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$	$- 7$
	$20$	$62$	$- 14$

解题步骤 6.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$	$- 7$
	$20$	$62$	$- 14$	$- 2$

解题步骤 6.9

将结果 $(- 2)$ 中的最新项乘以除数 $(\frac{1}{2})$ 并将 $(- 1)$ 的结果置于被除数 $(1)$ 的下一项下方。

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$	$- 7$	$- 1$
	$20$	$62$	$- 14$	$- 2$

解题步骤 6.10

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$	$- 7$	$- 1$
	$20$	$62$	$- 14$	$- 2$	$0$

解题步骤 6.11

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$20 x^{3} + 62 x^{2} + (- 14) x - 2$

解题步骤 6.12

化简商多项式。

$20 x^{3} + 62 x^{2} - 14 x - 2$

解题步骤 7

从 $20 x^{3} + 62 x^{2} - 14 x - 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 7.1

从 $20 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3}) + 62 x^{2} - 14 x - 2)$

解题步骤 7.2

从 $62 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3}) + 2 (31 x^{2}) - 14 x - 2)$

解题步骤 7.3

从 $- 14 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3}) + 2 (31 x^{2}) + 2 (- 7 x) - 2)$

解题步骤 7.4

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3}) + 2 (31 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 (- 1))$

解题步骤 7.5

从 $2 (10 x^{3}) + 2 (31 x^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3} + 31 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 (- 1))$

解题步骤 7.6

从 $2 (10 x^{3} + 31 x^{2}) + 2 (- 7 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3} + 31 x^{2} - 7 x) + 2 (- 1))$

解题步骤 7.7

从 $2 (10 x^{3} + 31 x^{2} - 7 x) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3} + 31 x^{2} - 7 x - 1))$

解题步骤 8

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 8.1

使用有理根检验法因式分解 $20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1$ 。

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解题步骤 8.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

解题步骤 8.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.05, \pm 0.5, \pm 0.1, \pm 0.25, \pm 0.2$

解题步骤 8.1.3

代入 $- 0.1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 0.1$ 是多项式的根。

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解题步骤 8.1.3.1

将 $- 0.1$ 代入多项式。

$20 {(- 0.1)}^{4} + 52 {(- 0.1)}^{3} - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

解题步骤 8.1.3.2

对 $- 0.1$ 进行 $4$ 次方运算。

$20 \cdot 0.0001 + 52 {(- 0.1)}^{3} - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

解题步骤 8.1.3.3

将 $20$ 乘以 $0.0001$ 。

$0.002 + 52 {(- 0.1)}^{3} - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

解题步骤 8.1.3.4

对 $- 0.1$ 进行 $3$ 次方运算。

$0.002 + 52 \cdot - 0.001 - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

解题步骤 8.1.3.5

将 $52$ 乘以 $- 0.001$ 。

$0.002 - 0.052 - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

解题步骤 8.1.3.6

从 $0.002$ 中减去 $0.052$ 。

$- 0.05 - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

解题步骤 8.1.3.7

对 $- 0.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 0.05 - 45 \cdot 0.01 + 5 \cdot - 0.1 + 1$

解题步骤 8.1.3.8

将 $- 45$ 乘以 $0.01$ 。

$- 0.05 - 0.45 + 5 \cdot - 0.1 + 1$

解题步骤 8.1.3.9

从 $- 0.05$ 中减去 $0.45$ 。

$- 0.5 + 5 \cdot - 0.1 + 1$

解题步骤 8.1.3.10

将 $5$ 乘以 $- 0.1$ 。

$- 0.5 - 0.5 + 1$

解题步骤 8.1.3.11

从 $- 0.5$ 中减去 $0.5$ 。

$- 1 + 1$

解题步骤 8.1.3.12

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$0$

解题步骤 8.1.4

因为 $- 0.1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $10 x + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1}{10 x + 1}$

解题步骤 8.1.5

用 $20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1$ 除以 $10 x + 1$ 。

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解题步骤 8.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

解题步骤 8.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $20 x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $10 x$ 。

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

解题步骤 8.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

解题步骤 8.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $20 x^{4} + 2 x^{3}$ 中的所有符号

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

解题步骤 8.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

解题步骤 8.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

解题步骤 8.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $50 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $10 x$ 。

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

解题步骤 8.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

解题步骤 8.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $50 x^{3} + 5 x^{2}$ 中的所有符号

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

解题步骤 8.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

解题步骤 8.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

解题步骤 8.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 50 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $10 x$ 。

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

解题步骤 8.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

解题步骤 8.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 50 x^{2} - 5 x$ 中的所有符号

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

解题步骤 8.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

解题步骤 8.1.5.16

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

解题步骤 8.1.5.17

将被除数中的最高阶项 $10 x$ 除以除数中的最高阶项 $10 x$ 。

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

解题步骤 8.1.5.18

将新的商式项乘以除数。

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$10 x$

$1$

解题步骤 8.1.5.19

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $10 x + 1$ 中的所有符号

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$10 x$

$1$

解题步骤 8.1.5.20

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$10 x$

$1$

$0$

解题步骤 8.1.5.21

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$

解题步骤 8.1.6

将 $20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1$ 书写为因数的集合。

$(10 x + 1) (2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1) = 0$

解题步骤 8.2

使用有理根检验法因式分解 $2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$ 。

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解题步骤 8.2.1

使用有理根检验法因式分解 $2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$ 。

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解题步骤 8.2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

解题步骤 8.2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.5$

解题步骤 8.2.1.3

代入 $0.5$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $0.5$ 是多项式的根。

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解题步骤 8.2.1.3.1

将 $0.5$ 代入多项式。

$2 \cdot {0.5}^{3} + 5 \cdot {0.5}^{2} - 5 \cdot 0.5 + 1$

解题步骤 8.2.1.3.2

对 $0.5$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \cdot 0.125 + 5 \cdot {0.5}^{2} - 5 \cdot 0.5 + 1$

解题步骤 8.2.1.3.3

将 $2$ 乘以 $0.125$ 。

$0.25 + 5 \cdot {0.5}^{2} - 5 \cdot 0.5 + 1$

解题步骤 8.2.1.3.4

对 $0.5$ 进行 $2$ 次方运算。

$0.25 + 5 \cdot 0.25 - 5 \cdot 0.5 + 1$

解题步骤 8.2.1.3.5

将 $5$ 乘以 $0.25$ 。

$0.25 + 1.25 - 5 \cdot 0.5 + 1$

解题步骤 8.2.1.3.6

将 $0.25$ 和 $1.25$ 相加。

$1.5 - 5 \cdot 0.5 + 1$

解题步骤 8.2.1.3.7

将 $- 5$ 乘以 $0.5$ 。

$1.5 - 2.5 + 1$

解题步骤 8.2.1.3.8

从 $1.5$ 中减去 $2.5$ 。

$- 1 + 1$

解题步骤 8.2.1.3.9

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$0$

解题步骤 8.2.1.4

因为 $0.5$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $2 x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1}{2 x - 1}$

解题步骤 8.2.1.5

用 $2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$ 除以 $2 x - 1$ 。

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解题步骤 8.2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

解题步骤 8.2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $2 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$

解题步骤 8.2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

解题步骤 8.2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{3} - x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

解题步骤 8.2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

解题步骤 8.2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$

解题步骤 8.2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $6 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$

解题步骤 8.2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

解题步骤 8.2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $6 x^{2} - 3 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$

解题步骤 8.2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$

解题步骤 8.2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$

解题步骤 8.2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 2 x$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$

解题步骤 8.2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$
							-	$2 x$	+	$1$

解题步骤 8.2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 2 x + 1$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$
							+	$2 x$	-	$1$

解题步骤 8.2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$
							+	$2 x$	-	$1$
										$0$

解题步骤 8.2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} + 3 x - 1$

解题步骤 8.2.1.6

将 $2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$ 书写为因数的集合。

$(10 x + 1) ((2 x - 1) (x^{2} + 3 x - 1)) = 0$

解题步骤 8.2.2

去掉多余的括号。

$(10 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 3 x - 1) = 0$

解题步骤 9

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$10 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x^{2} + 3 x - 1 = 0$

解题步骤 10

将 $10 x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 10.1

将 $10 x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$10 x + 1 = 0$

解题步骤 10.2

求解 $x$ 的 $10 x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 10.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$10 x = - 1$

解题步骤 10.2.2

将 $10 x = - 1$ 中的每一项除以 $10$ 并化简。

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解题步骤 10.2.2.1

将 $10 x = - 1$ 中的每一项都除以 $10$ 。

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 1}{10}$

解题步骤 10.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 10.2.2.2.1

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 1}{10}$

解题步骤 10.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 1}{10}$

解题步骤 10.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 10.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1}{10}$

解题步骤 11

将 $2 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

将 $2 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 x - 1 = 0$

解题步骤 11.2

求解 $x$ 的 $2 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 11.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 x = 1$

解题步骤 11.2.2

将 $2 x = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $2 x = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 11.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 11.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 11.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{2}$

解题步骤 12

将 $x^{2} + 3 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

将 $x^{2} + 3 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 3 x - 1 = 0$

解题步骤 12.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 12.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 12.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 3$ 和 $c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.2.3

化简。

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解题步骤 12.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 12.2.3.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 12.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.2.3.1.3

将 $9$ 和 $4$ 相加。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2}$

解题步骤 12.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 12.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 12.2.4.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 12.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.2.4.1.3

将 $9$ 和 $4$ 相加。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2}$

解题步骤 12.2.4.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 3 + \sqrt{13}}{2}$

解题步骤 12.2.4.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{13}}{2}$

解题步骤 12.2.4.5

从 $\sqrt{13}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{13})}{2}$

解题步骤 12.2.4.6

从 $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{13})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (3 - \sqrt{13})}{2}$

解题步骤 12.2.4.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

解题步骤 12.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 12.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 12.2.5.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 12.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.2.5.1.3

将 $9$ 和 $4$ 相加。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2}$

解题步骤 12.2.5.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 3 - \sqrt{13}}{2}$

解题步骤 12.2.5.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{13}}{2}$

解题步骤 12.2.5.5

从 $- \sqrt{13}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{13})}{2}$

解题步骤 12.2.5.6

从 $- 1 (3) - (\sqrt{13})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (3 + \sqrt{13})}{2}$

解题步骤 12.2.5.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

解题步骤 12.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

解题步骤 13

最终解为使 $(10 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 3 x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = - \frac{1}{10}, \frac{1}{2}, - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

解题步骤 14

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = - \frac{1}{10}, \frac{1}{2}, - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

小数形式：

$x = - 0.1, 0.5, 0.30277563 \dots, - 3.30277563 \dots$

解题步骤 15

初级微积分 示例

初级微积分示例