初级微积分示例

$4 a^{2} c^{2} - {(a^{2} - b^{2} + c^{2})}^{2}$

解题步骤 1

将 $4 a^{2} c^{2}$ 重写为 ${(2 a c)}^{2}$ 。

${(2 a c)}^{2} - {(a^{2} - b^{2} + c^{2})}^{2}$

解题步骤 2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2 a c$ 和 $b = a^{2} - b^{2} + c^{2}$ 。

$(2 a c + a^{2} - b^{2} + c^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

以因式分解的形式重写 $2 a c + a^{2} - b^{2} + c^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.1

重新组合项。

$(- b^{2} + 2 a c + a^{2} + c^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

解题步骤 3.1.2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 3.1.2.1

重新整理项。

$(- b^{2} + a^{2} + 2 a c + c^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

解题步骤 3.1.2.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 a c = 2 \cdot a \cdot c$

解题步骤 3.1.2.3

重写多项式。

$(- b^{2} + a^{2} + 2 \cdot a \cdot c + c^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

解题步骤 3.1.2.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = a$ 和 $b = c$ 。

$(- b^{2} + {(a + c)}^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

解题步骤 3.1.3

将 $- b^{2}$ 和 ${(a + c)}^{2}$ 重新排序。

$({(a + c)}^{2} - b^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

解题步骤 3.1.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = a + c$ 和 $b = b$ 。

$(a + c + b) (a + c - b) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$(a + c + b) (a + c - b) (2 a c - a^{2} - - b^{2} - c^{2})$

解题步骤 3.3

乘以 $- - b^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$(a + c + b) (a + c - b) (2 a c - a^{2} + 1 b^{2} - c^{2})$

解题步骤 3.3.2

将 $b^{2}$ 乘以 $1$ 。

$(a + c + b) (a + c - b) (2 a c - a^{2} + b^{2} - c^{2})$

解题步骤 3.4

因数。

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解题步骤 3.4.1

以因式分解的形式重写 $2 a c - a^{2} + b^{2} - c^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.1.1

重新组合项。

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} + 2 a c - a^{2} - c^{2})$

解题步骤 3.4.1.2

添加圆括号。

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} + 2 (a c) - a^{2} - c^{2})$

解题步骤 3.4.1.3

使 $u = a c$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $a c$ 。

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} + 2 u - a^{2} - c^{2})$

解题步骤 3.4.1.4

从 $2 u - a^{2} - c^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 3.4.1.4.1

移动 $2 u$ 。

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - a^{2} - c^{2} + 2 u)$

解题步骤 3.4.1.4.2

从 $- a^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2}) - c^{2} + 2 u)$

解题步骤 3.4.1.4.3

从 $- c^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2}) - (c^{2}) + 2 u)$

解题步骤 3.4.1.4.4

从 $2 u$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2}) - (c^{2}) - (- 2 u))$

解题步骤 3.4.1.4.5

从 $- (a^{2}) - (c^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} + c^{2}) - (- 2 u))$

解题步骤 3.4.1.4.6

从 $- (a^{2} + c^{2}) - (- 2 u)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} + c^{2} - 2 u))$

解题步骤 3.4.1.5

使用 $a c$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} + c^{2} - 2 (a c)))$

解题步骤 3.4.1.6

去掉圆括号。

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} + c^{2} - 2 a c))$

解题步骤 3.4.1.7

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 3.4.1.7.1

重新整理项。

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} - 2 a c + c^{2}))$

解题步骤 3.4.1.7.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 a c = 2 \cdot a \cdot c$

解题步骤 3.4.1.7.3

重写多项式。

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} - 2 \cdot a \cdot c + c^{2}))$

解题步骤 3.4.1.7.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = a$ 和 $b = c$ 。

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - {(a - c)}^{2})$

解题步骤 3.4.1.8

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = b$ 和 $b = a - c$ 。

$(a + c + b) (a + c - b) ((b + a - c) (b - (a - c)))$

解题步骤 3.4.1.9

化简。

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解题步骤 3.4.1.9.1

运用分配律。

$(a + c + b) (a + c - b) ((b + a - c) (b - a - - c))$

解题步骤 3.4.1.9.2

乘以 $- - c$ 。

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解题步骤 3.4.1.9.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$(a + c + b) (a + c - b) ((b + a - c) (b - a + 1 c))$

解题步骤 3.4.1.9.2.2

将 $c$ 乘以 $1$ 。

$(a + c + b) (a + c - b) ((b + a - c) (b - a + c))$

解题步骤 3.4.2

去掉多余的括号。

$(a + c + b) (a + c - b) (b + a - c) (b - a + c)$

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