初级微积分示例

$f (x) = 9 x^{4} + 28 x^{3} + 48 x^{2} + 140 x + 15$

解题步骤 1

将 $9 x^{4} + 28 x^{3} + 48 x^{2} + 140 x + 15$ 设为等于 $0$ 。

$9 x^{4} + 28 x^{3} + 48 x^{2} + 140 x + 15 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

重新组合项。

$28 x^{3} + 140 x + 9 x^{4} + 48 x^{2} + 15 = 0$

解题步骤 2.1.2

从 $28 x^{3} + 140 x$ 中分解出因数 $28 x$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $28 x^{3}$ 中分解出因数 $28 x$ 。

$28 x (x^{2}) + 140 x + 9 x^{4} + 48 x^{2} + 15 = 0$

解题步骤 2.1.2.2

从 $140 x$ 中分解出因数 $28 x$ 。

$28 x (x^{2}) + 28 x (5) + 9 x^{4} + 48 x^{2} + 15 = 0$

解题步骤 2.1.2.3

从 $28 x (x^{2}) + 28 x (5)$ 中分解出因数 $28 x$ 。

$28 x (x^{2} + 5) + 9 x^{4} + 48 x^{2} + 15 = 0$

解题步骤 2.1.3

从 $9 x^{4} + 48 x^{2} + 15$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

从 $9 x^{4}$ 中分解出因数 $3$ 。

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 x^{4}) + 48 x^{2} + 15 = 0$

解题步骤 2.1.3.2

从 $48 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 x^{4}) + 3 (16 x^{2}) + 15 = 0$

解题步骤 2.1.3.3

从 $15$ 中分解出因数 $3$ 。

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 x^{4}) + 3 (16 x^{2}) + 3 (5) = 0$

解题步骤 2.1.3.4

从 $3 (3 x^{4}) + 3 (16 x^{2})$ 中分解出因数 $3$ 。

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 x^{4} + 16 x^{2}) + 3 (5) = 0$

解题步骤 2.1.3.5

从 $3 (3 x^{4} + 16 x^{2}) + 3 (5)$ 中分解出因数 $3$ 。

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 x^{4} + 16 x^{2} + 5) = 0$

解题步骤 2.1.4

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 {(x^{2})}^{2} + 16 x^{2} + 5) = 0$

解题步骤 2.1.5

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 u^{2} + 16 u + 5) = 0$

解题步骤 2.1.6

分组因式分解。

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解题步骤 2.1.6.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot 5 = 15$ 并且它们的和为 $b = 16$ 。

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解题步骤 2.1.6.1.1

从 $16 u$ 中分解出因数 $16$ 。

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 u^{2} + 16 (u) + 5) = 0$

解题步骤 2.1.6.1.2

把 $16$ 重写为 $1$ 加 $15$

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 u^{2} + (1 + 15) u + 5) = 0$

解题步骤 2.1.6.1.3

运用分配律。

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 u^{2} + 1 u + 15 u + 5) = 0$

解题步骤 2.1.6.1.4

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 u^{2} + u + 15 u + 5) = 0$

解题步骤 2.1.6.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.1.6.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$28 x (x^{2} + 5) + 3 ((3 u^{2} + u) + 15 u + 5) = 0$

解题步骤 2.1.6.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (u (3 u + 1) + 5 (3 u + 1)) = 0$

解题步骤 2.1.6.3

通过因式分解出最大公因数 $3 u + 1$ 来因式分解多项式。

$28 x (x^{2} + 5) + 3 ((3 u + 1) (u + 5)) = 0$

解题步骤 2.1.7

因数。

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解题步骤 2.1.7.1

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$28 x (x^{2} + 5) + 3 ((3 x^{2} + 1) (x^{2} + 5)) = 0$

解题步骤 2.1.7.2

去掉多余的括号。

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 x^{2} + 1) (x^{2} + 5) = 0$

解题步骤 2.1.8

从 $28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 x^{2} + 1) (x^{2} + 5)$ 中分解出因数 $x^{2} + 5$ 。

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解题步骤 2.1.8.1

从 $28 x (x^{2} + 5)$ 中分解出因数 $x^{2} + 5$ 。

$(x^{2} + 5) (28 x) + 3 (3 x^{2} + 1) (x^{2} + 5) = 0$

解题步骤 2.1.8.2

从 $3 (3 x^{2} + 1) (x^{2} + 5)$ 中分解出因数 $x^{2} + 5$ 。

$(x^{2} + 5) (28 x) + (x^{2} + 5) (3 (3 x^{2} + 1)) = 0$

解题步骤 2.1.8.3

从 $(x^{2} + 5) (28 x) + (x^{2} + 5) (3 (3 x^{2} + 1))$ 中分解出因数 $x^{2} + 5$ 。

$(x^{2} + 5) (28 x + 3 (3 x^{2} + 1)) = 0$

解题步骤 2.1.9

运用分配律。

$(x^{2} + 5) (28 x + 3 (3 x^{2}) + 3 \cdot 1) = 0$

解题步骤 2.1.10

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$(x^{2} + 5) (28 x + 9 x^{2} + 3 \cdot 1) = 0$

解题步骤 2.1.11

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$(x^{2} + 5) (28 x + 9 x^{2} + 3) = 0$

解题步骤 2.1.12

重新排序项。

$(x^{2} + 5) (9 x^{2} + 28 x + 3) = 0$

解题步骤 2.1.13

因数。

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解题步骤 2.1.13.1

分组因式分解。

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解题步骤 2.1.13.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 9 \cdot 3 = 27$ 并且它们的和为 $b = 28$ 。

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解题步骤 2.1.13.1.1.1

从 $28 x$ 中分解出因数 $28$ 。

$(x^{2} + 5) (9 x^{2} + 28 (x) + 3) = 0$

解题步骤 2.1.13.1.1.2

把 $28$ 重写为 $1$ 加 $27$

$(x^{2} + 5) (9 x^{2} + (1 + 27) x + 3) = 0$

解题步骤 2.1.13.1.1.3

运用分配律。

$(x^{2} + 5) (9 x^{2} + 1 x + 27 x + 3) = 0$

解题步骤 2.1.13.1.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$(x^{2} + 5) (9 x^{2} + x + 27 x + 3) = 0$

解题步骤 2.1.13.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.1.13.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x^{2} + 5) ((9 x^{2} + x) + 27 x + 3) = 0$

解题步骤 2.1.13.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x^{2} + 5) (x (9 x + 1) + 3 (9 x + 1)) = 0$

解题步骤 2.1.13.1.3

通过因式分解出最大公因数 $9 x + 1$ 来因式分解多项式。

$(x^{2} + 5) ((9 x + 1) (x + 3)) = 0$

解题步骤 2.1.13.2

去掉多余的括号。

$(x^{2} + 5) (9 x + 1) (x + 3) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} + 5 = 0$

$9 x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

解题步骤 2.3

将 $x^{2} + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x^{2} + 5$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 5 = 0$

解题步骤 2.3.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 5 = 0$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$x^{2} = - 5$

解题步骤 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 5}$

解题步骤 2.3.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 5}$ 。

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解题步骤 2.3.2.3.1

将 $- 5$ 重写为 $- 1 (5)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

解题步骤 2.3.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (5)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

解题步骤 2.3.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \sqrt{5}$

解题步骤 2.3.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.3.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i \sqrt{5}$

解题步骤 2.3.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i \sqrt{5}$

解题步骤 2.3.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

解题步骤 2.4

将 $9 x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $9 x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$9 x + 1 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $9 x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$9 x = - 1$

解题步骤 2.4.2.2

将 $9 x = - 1$ 中的每一项除以 $9$ 并化简。

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解题步骤 2.4.2.2.1

将 $9 x = - 1$ 中的每一项都除以 $9$ 。

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

解题步骤 2.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.2.2.1

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

解题步骤 2.4.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 1}{9}$

解题步骤 2.4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1}{9}$

解题步骤 2.5

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 2.5.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 2.6

最终解为使 $(x^{2} + 5) (9 x + 1) (x + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}, - \frac{1}{9}, - 3$

解题步骤 3

初级微积分 示例

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