初级微积分示例

$f (x) = x^{5} - x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} - 6 x$

解题步骤 1

将 $x^{5} - x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} - 6 x$ 设为等于 $0$ 。

$x^{5} - x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} - 6 x = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

从 $x^{5} - x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} - 6 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

从 $x^{5}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{4} - x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} - 6 x = 0$

解题步骤 2.1.1.2

从 $- x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{4} + x (- x^{3}) + x^{3} - 3 x^{2} - 6 x = 0$

解题步骤 2.1.1.3

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{4} + x (- x^{3}) + x \cdot x^{2} - 3 x^{2} - 6 x = 0$

解题步骤 2.1.1.4

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{4} + x (- x^{3}) + x \cdot x^{2} + x (- 3 x) - 6 x = 0$

解题步骤 2.1.1.5

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{4} + x (- x^{3}) + x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + x \cdot - 6 = 0$

解题步骤 2.1.1.6

从 $x \cdot x^{4} + x (- x^{3})$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x^{4} - x^{3}) + x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + x \cdot - 6 = 0$

解题步骤 2.1.1.7

从 $x (x^{4} - x^{3}) + x \cdot x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x^{4} - x^{3} + x^{2}) + x (- 3 x) + x \cdot - 6 = 0$

解题步骤 2.1.1.8

从 $x (x^{4} - x^{3} + x^{2}) + x (- 3 x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x^{4} - x^{3} + x^{2} - 3 x) + x \cdot - 6 = 0$

解题步骤 2.1.1.9

从 $x (x^{4} - x^{3} + x^{2} - 3 x) + x \cdot - 6$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x^{4} - x^{3} + x^{2} - 3 x - 6) = 0$

解题步骤 2.1.2

重新组合项。

$x (- x^{3} - 3 x + x^{4} + x^{2} - 6) = 0$

解题步骤 2.1.3

从 $- x^{3} - 3 x$ 中分解出因数 $- x$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

从 $- x^{3}$ 中分解出因数 $- x$ 。

$x (- x \cdot x^{2} - 3 x + x^{4} + x^{2} - 6) = 0$

解题步骤 2.1.3.2

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $- x$ 。

$x (- x \cdot x^{2} - x \cdot 3 + x^{4} + x^{2} - 6) = 0$

解题步骤 2.1.3.3

从 $- x (x^{2}) - x (3)$ 中分解出因数 $- x$ 。

$x (- x (x^{2} + 3) + x^{4} + x^{2} - 6) = 0$

解题步骤 2.1.4

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$x (- x (x^{2} + 3) + {(x^{2})}^{2} + x^{2} - 6) = 0$

解题步骤 2.1.5

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$x (- x (x^{2} + 3) + u^{2} + u - 6) = 0$

解题步骤 2.1.6

使用 AC 法来对 $u^{2} + u - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.6.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $1$ 。

$- 2, 3$

解题步骤 2.1.6.2

使用这些整数书写分数形式。

$x (- x (x^{2} + 3) + (u - 2) (u + 3)) = 0$

解题步骤 2.1.7

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (- x (x^{2} + 3) + (x^{2} - 2) (x^{2} + 3)) = 0$

解题步骤 2.1.8

从 $- x (x^{2} + 3) + (x^{2} - 2) (x^{2} + 3)$ 中分解出因数 $x^{2} + 3$ 。

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解题步骤 2.1.8.1

从 $- x (x^{2} + 3)$ 中分解出因数 $x^{2} + 3$ 。

$x ((x^{2} + 3) (- x) + (x^{2} - 2) (x^{2} + 3)) = 0$

解题步骤 2.1.8.2

从 $(x^{2} - 2) (x^{2} + 3)$ 中分解出因数 $x^{2} + 3$ 。

$x ((x^{2} + 3) (- x) + (x^{2} + 3) (x^{2} - 2)) = 0$

解题步骤 2.1.8.3

从 $(x^{2} + 3) (- x) + (x^{2} + 3) (x^{2} - 2)$ 中分解出因数 $x^{2} + 3$ 。

$x ((x^{2} + 3) (- x + x^{2} - 2)) = 0$

解题步骤 2.1.9

使 $u = x$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x$ 。

$x ((x^{2} + 3) (- u + u^{2} - 2)) = 0$

解题步骤 2.1.10

使用 AC 法来对 $- u + u^{2} - 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.10.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 2$ ，和为 $- 1$ 。

$- 2, 1$

解题步骤 2.1.10.2

使用这些整数书写分数形式。

$x ((x^{2} + 3) ((u - 2) (u + 1))) = 0$

解题步骤 2.1.11

因数。

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解题步骤 2.1.11.1

因数。

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解题步骤 2.1.11.1.1

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x ((x^{2} + 3) ((x - 2) (x + 1))) = 0$

解题步骤 2.1.11.1.2

去掉多余的括号。

$x ((x^{2} + 3) (x - 2) (x + 1)) = 0$

解题步骤 2.1.11.2

去掉多余的括号。

$x (x^{2} + 3) (x - 2) (x + 1) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.3

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.4

将 $x^{2} + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x^{2} + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 3 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 3 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x^{2} = - 3$

解题步骤 2.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

解题步骤 2.4.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 3}$ 。

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解题步骤 2.4.2.3.1

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

解题步骤 2.4.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

解题步骤 2.4.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 2.4.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.4.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i \sqrt{3}$

解题步骤 2.4.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i \sqrt{3}$

解题步骤 2.4.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

解题步骤 2.5

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 2.5.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 2.6

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.6.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.6.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 2.7

最终解为使 $x (x^{2} + 3) (x - 2) (x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}, 2, - 1$

解题步骤 3

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