初级微积分示例

$f (x) = 33 x^{4} - x^{2} + 121$

解题步骤 1

求 x 轴截距。

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解题步骤 1.1

要求 x 轴截距，请将 $0$ 代入 $y$ 并求解 $x$ 。

$0 = 33 x^{4} - x^{2} + 121$

解题步骤 1.2

求解方程。

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解题步骤 1.2.1

将方程重写为 $33 x^{4} - x^{2} + 121 = 0$ 。

$33 x^{4} - x^{2} + 121 = 0$

解题步骤 1.2.2

将 $u = x^{2}$ 代入方程。这将使得二次公式变得更容易使用。

$33 u^{2} - u + 121 = 0$

$u = x^{2}$

解题步骤 1.2.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 1.2.4

将 $a = 33$ 、 $b = - 1$ 和 $c = 121$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (33 \cdot 121)}}{2 \cdot 33}$

解题步骤 1.2.5

化简。

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解题步骤 1.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.5.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 33 \cdot 121}}{2 \cdot 33}$

解题步骤 1.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 33 \cdot 121$ 。

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解题步骤 1.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $33$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 132 \cdot 121}}{2 \cdot 33}$

解题步骤 1.2.5.1.2.2

将 $- 132$ 乘以 $121$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 15972}}{2 \cdot 33}$

解题步骤 1.2.5.1.3

从 $1$ 中减去 $15972$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 15971}}{2 \cdot 33}$

解题步骤 1.2.5.1.4

将 $- 15971$ 重写为 $- 1 (15971)$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15971}}{2 \cdot 33}$

解题步骤 1.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (15971)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15971}$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15971}}{2 \cdot 33}$

解题步骤 1.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15971}}{2 \cdot 33}$

解题步骤 1.2.5.2

将 $2$ 乘以 $33$ 。

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15971}}{66}$

解题步骤 1.2.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 1.2.6.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.6.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 33 \cdot 121}}{2 \cdot 33}$

解题步骤 1.2.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 33 \cdot 121$ 。

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解题步骤 1.2.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $33$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 132 \cdot 121}}{2 \cdot 33}$

解题步骤 1.2.6.1.2.2

将 $- 132$ 乘以 $121$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 15972}}{2 \cdot 33}$

解题步骤 1.2.6.1.3

从 $1$ 中减去 $15972$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 15971}}{2 \cdot 33}$

解题步骤 1.2.6.1.4

将 $- 15971$ 重写为 $- 1 (15971)$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15971}}{2 \cdot 33}$

解题步骤 1.2.6.1.5

将 $\sqrt{- 1 (15971)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15971}$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15971}}{2 \cdot 33}$

解题步骤 1.2.6.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15971}}{2 \cdot 33}$

解题步骤 1.2.6.2

将 $2$ 乘以 $33$ 。

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15971}}{66}$

解题步骤 1.2.6.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$u = \frac{1 + i \sqrt{15971}}{66}$

解题步骤 1.2.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 1.2.7.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.7.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 33 \cdot 121}}{2 \cdot 33}$

解题步骤 1.2.7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 33 \cdot 121$ 。

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解题步骤 1.2.7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $33$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 132 \cdot 121}}{2 \cdot 33}$

解题步骤 1.2.7.1.2.2

将 $- 132$ 乘以 $121$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 15972}}{2 \cdot 33}$

解题步骤 1.2.7.1.3

从 $1$ 中减去 $15972$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 15971}}{2 \cdot 33}$

解题步骤 1.2.7.1.4

将 $- 15971$ 重写为 $- 1 (15971)$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15971}}{2 \cdot 33}$

解题步骤 1.2.7.1.5

将 $\sqrt{- 1 (15971)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15971}$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15971}}{2 \cdot 33}$

解题步骤 1.2.7.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15971}}{2 \cdot 33}$

解题步骤 1.2.7.2

将 $2$ 乘以 $33$ 。

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15971}}{66}$

解题步骤 1.2.7.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$u = \frac{1 - i \sqrt{15971}}{66}$

解题步骤 1.2.8

最终答案为两个解的组合。

$u = \frac{1 + i \sqrt{15971}}{66}, \frac{1 - i \sqrt{15971}}{66}$

解题步骤 1.2.9

将 $u = x^{2}$ 的真实值代入回已解的方程中。

$x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{15971}}{66}$

${(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{15971}}{66}$

解题步骤 1.2.10

求解 $x$ 的第一个方程。

$x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{15971}}{66}$

解题步骤 1.2.11

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 1.2.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{15971}}{66}}$

解题步骤 1.2.11.2

化简 $\pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{15971}}{66}}$ 。

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解题步骤 1.2.11.2.1

将 $\sqrt{\frac{1 + i \sqrt{15971}}{66}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}}$

解题步骤 1.2.11.2.2

将 $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{66}}{\sqrt{66}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}} \cdot \frac{\sqrt{66}}{\sqrt{66}}$

解题步骤 1.2.11.2.3

合并和化简分母。

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解题步骤 1.2.11.2.3.1

将 $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{66}}{\sqrt{66}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{\sqrt{66} \sqrt{66}}$

解题步骤 1.2.11.2.3.2

对 $\sqrt{66}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{\sqrt{66}}^{1} \sqrt{66}}$

解题步骤 1.2.11.2.3.3

对 $\sqrt{66}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{\sqrt{66}}^{1} {\sqrt{66}}^{1}}$

解题步骤 1.2.11.2.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{\sqrt{66}}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.2.11.2.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{\sqrt{66}}^{2}}$

解题步骤 1.2.11.2.3.6

将 ${\sqrt{66}}^{2}$ 重写为 $66$ 。

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解题步骤 1.2.11.2.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{66}$ 重写成 $66^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{(66^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.11.2.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.11.2.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.2.11.2.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.11.2.3.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.2.11.2.3.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66^{1}}$

解题步骤 1.2.11.2.3.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66}$

解题步骤 1.2.11.2.4

使用根数乘积法则进行合并。

$x = \pm \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$

解题步骤 1.2.11.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.11.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$

解题步骤 1.2.11.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$

解题步骤 1.2.11.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}, - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$

解题步骤 1.2.12

求解 $x$ 的第二个方程。

${(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{15971}}{66}$

解题步骤 1.2.13

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 1.2.13.1

去掉圆括号。

$x^{2} = \frac{1 - i \sqrt{15971}}{66}$

解题步骤 1.2.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{15971}}{66}}$

解题步骤 1.2.13.3

化简 $\pm \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{15971}}{66}}$ 。

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解题步骤 1.2.13.3.1

将 $\sqrt{\frac{1 - i \sqrt{15971}}{66}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}}$

解题步骤 1.2.13.3.2

将 $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{66}}{\sqrt{66}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}} \cdot \frac{\sqrt{66}}{\sqrt{66}}$

解题步骤 1.2.13.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 1.2.13.3.3.1

将 $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{66}}{\sqrt{66}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{\sqrt{66} \sqrt{66}}$

解题步骤 1.2.13.3.3.2

对 $\sqrt{66}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{\sqrt{66}}^{1} \sqrt{66}}$

解题步骤 1.2.13.3.3.3

对 $\sqrt{66}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{\sqrt{66}}^{1} {\sqrt{66}}^{1}}$

解题步骤 1.2.13.3.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{\sqrt{66}}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.2.13.3.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{\sqrt{66}}^{2}}$

解题步骤 1.2.13.3.3.6

将 ${\sqrt{66}}^{2}$ 重写为 $66$ 。

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解题步骤 1.2.13.3.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{66}$ 重写成 $66^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{(66^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.13.3.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.13.3.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.2.13.3.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.13.3.3.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.2.13.3.3.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66^{1}}$

解题步骤 1.2.13.3.3.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66}$

解题步骤 1.2.13.3.4

使用根数乘积法则进行合并。

$x = \pm \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$

解题步骤 1.2.13.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.13.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$

解题步骤 1.2.13.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$

解题步骤 1.2.13.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}, - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$

解题步骤 1.2.14

$33 x^{4} - x^{2} + 121 = 0$ 的解是 $x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}, - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}, \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}, - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$ 。

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}, - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}, \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}, - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$

解题步骤 1.3

要求 x 轴截距，请将 $0$ 代入 $y$ 并求解 $x$ 。

x 轴截距： $无$

解题步骤 2

求 y 轴截距

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解题步骤 2.1

要求 y 轴截距，请将 $0$ 代入 $x$ 并求解 $y$ 。

$y = 33 {(0)}^{4} - {(0)}^{2} + 121$

解题步骤 2.2

求解方程。

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解题步骤 2.2.1

去掉圆括号。

$y = 33 \cdot 0^{4} - {(0)}^{2} + 121$

解题步骤 2.2.2

去掉圆括号。

$y = 33 \cdot 0^{4} - 0^{2} + 121$

解题步骤 2.2.3

去掉圆括号。

$y = 33 {(0)}^{4} - {(0)}^{2} + 121$

解题步骤 2.2.4

化简 $33 {(0)}^{4} - {(0)}^{2} + 121$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.4.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 33 \cdot 0 - {(0)}^{2} + 121$

解题步骤 2.2.4.1.2

将 $33$ 乘以 $0$ 。

$y = 0 - {(0)}^{2} + 121$

解题步骤 2.2.4.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 0 - 0 + 121$

解题步骤 2.2.4.1.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$y = 0 + 0 + 121$

解题步骤 2.2.4.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 2.2.4.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$y = 0 + 121$

解题步骤 2.2.4.2.2

将 $0$ 和 $121$ 相加。

$y = 121$

解题步骤 2.3

以点的形式表示的 y 轴截距。

y 轴截距： $(0, 121)$

解题步骤 3

列出交点。

x 轴截距： $无$

y 轴截距： $(0, 121)$

解题步骤 4

初级微积分 示例

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