初级微积分示例

$f (x) = 2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2} + 9 x - 45$

解题步骤 1

求 x 轴截距。

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解题步骤 1.1

要求 x 轴截距，请将 $0$ 代入 $y$ 并求解 $x$ 。

$0 = 2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2} + 9 x - 45$

解题步骤 1.2

求解方程。

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解题步骤 1.2.1

将方程重写为 $2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2} + 9 x - 45 = 0$ 。

$2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2} + 9 x - 45 = 0$

解题步骤 1.2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.1

重新组合项。

$9 x - 45 + 2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2} = 0$

解题步骤 1.2.2.2

从 $9 x - 45$ 中分解出因数 $9$ 。

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解题步骤 1.2.2.2.1

从 $9 x$ 中分解出因数 $9$ 。

$9 (x) - 45 + 2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2} = 0$

解题步骤 1.2.2.2.2

从 $- 45$ 中分解出因数 $9$ 。

$9 x + 9 \cdot - 5 + 2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2} = 0$

解题步骤 1.2.2.2.3

从 $9 x + 9 \cdot - 5$ 中分解出因数 $9$ 。

$9 (x - 5) + 2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2} = 0$

解题步骤 1.2.2.3

从 $2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.2.3.1

从 $2 x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$9 (x - 5) + x^{2} (2 x^{2}) - 17 x^{3} + 35 x^{2} = 0$

解题步骤 1.2.2.3.2

从 $- 17 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$9 (x - 5) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 17 x) + 35 x^{2} = 0$

解题步骤 1.2.2.3.3

从 $35 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$9 (x - 5) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 17 x) + x^{2} \cdot 35 = 0$

解题步骤 1.2.2.3.4

从 $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 17 x)$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$9 (x - 5) + x^{2} (2 x^{2} - 17 x) + x^{2} \cdot 35 = 0$

解题步骤 1.2.2.3.5

从 $x^{2} (2 x^{2} - 17 x) + x^{2} \cdot 35$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$9 (x - 5) + x^{2} (2 x^{2} - 17 x + 35) = 0$

解题步骤 1.2.2.4

因数。

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解题步骤 1.2.2.4.1

分组因式分解。

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解题步骤 1.2.2.4.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot 35 = 70$ 并且它们的和为 $b = - 17$ 。

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解题步骤 1.2.2.4.1.1.1

从 $- 17 x$ 中分解出因数 $- 17$ 。

$9 (x - 5) + x^{2} (2 x^{2} - 17 x + 35) = 0$

解题步骤 1.2.2.4.1.1.2

把 $- 17$ 重写为 $- 7$ 加 $- 10$

$9 (x - 5) + x^{2} (2 x^{2} + (- 7 - 10) x + 35) = 0$

解题步骤 1.2.2.4.1.1.3

运用分配律。

$9 (x - 5) + x^{2} (2 x^{2} - 7 x - 10 x + 35) = 0$

解题步骤 1.2.2.4.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.2.2.4.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$9 (x - 5) + x^{2} ((2 x^{2} - 7 x) - 10 x + 35) = 0$

解题步骤 1.2.2.4.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$9 (x - 5) + x^{2} (x (2 x - 7) - 5 (2 x - 7)) = 0$

解题步骤 1.2.2.4.1.3

通过因式分解出最大公因数 $2 x - 7$ 来因式分解多项式。

$9 (x - 5) + x^{2} ((2 x - 7) (x - 5)) = 0$

解题步骤 1.2.2.4.2

去掉多余的括号。

$9 (x - 5) + x^{2} (2 x - 7) (x - 5) = 0$

解题步骤 1.2.2.5

从 $9 (x - 5) + x^{2} (2 x - 7) (x - 5)$ 中分解出因数 $x - 5$ 。

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解题步骤 1.2.2.5.1

从 $9 (x - 5)$ 中分解出因数 $x - 5$ 。

$(x - 5) \cdot 9 + x^{2} (2 x - 7) (x - 5) = 0$

解题步骤 1.2.2.5.2

从 $x^{2} (2 x - 7) (x - 5)$ 中分解出因数 $x - 5$ 。

$(x - 5) \cdot 9 + (x - 5) (x^{2} (2 x - 7)) = 0$

解题步骤 1.2.2.5.3

从 $(x - 5) \cdot 9 + (x - 5) (x^{2} (2 x - 7))$ 中分解出因数 $x - 5$ 。

$(x - 5) (9 + x^{2} (2 x - 7)) = 0$

解题步骤 1.2.2.6

运用分配律。

$(x - 5) (9 + x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 7) = 0$

解题步骤 1.2.2.7

使用乘法的交换性质重写。

$(x - 5) (9 + 2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 7) = 0$

解题步骤 1.2.2.8

将 $- 7$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$(x - 5) (9 + 2 x^{2} x - 7 \cdot x^{2}) = 0$

解题步骤 1.2.2.9

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.2.2.9.1

移动 $x$ 。

$(x - 5) (9 + 2 (x \cdot x^{2}) - 7 \cdot x^{2}) = 0$

解题步骤 1.2.2.9.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.2.9.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x - 5) (9 + 2 (x \cdot x^{2}) - 7 \cdot x^{2}) = 0$

解题步骤 1.2.2.9.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(x - 5) (9 + 2 x^{1 + 2} - 7 \cdot x^{2}) = 0$

解题步骤 1.2.2.9.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$(x - 5) (9 + 2 x^{3} - 7 \cdot x^{2}) = 0$

$(x - 5) (9 + 2 x^{3} - 7 x^{2}) = 0$

解题步骤 1.2.2.10

重新排序项。

$(x - 5) (2 x^{3} - 7 x^{2} + 9) = 0$

解题步骤 1.2.2.11

因数。

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解题步骤 1.2.2.11.1

以因式分解的形式重写 $2 x^{3} - 7 x^{2} + 9$ 。

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解题步骤 1.2.2.11.1.1

使用有理根检验法因式分解 $2 x^{3} - 7 x^{2} + 9$ 。

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解题步骤 1.2.2.11.1.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

解题步骤 1.2.2.11.1.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 9, \pm 4.5, \pm 3, \pm 1.5$

解题步骤 1.2.2.11.1.1.3

代入 $- 1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 1$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.2.2.11.1.1.3.1

将 $- 1$ 代入多项式。

$2 {(- 1)}^{3} - 7 {(- 1)}^{2} + 9$

解题步骤 1.2.2.11.1.1.3.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \cdot - 1 - 7 {(- 1)}^{2} + 9$

解题步骤 1.2.2.11.1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 - 7 {(- 1)}^{2} + 9$

解题步骤 1.2.2.11.1.1.3.4

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 2 - 7 \cdot 1 + 9$

解题步骤 1.2.2.11.1.1.3.5

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$- 2 - 7 + 9$

解题步骤 1.2.2.11.1.1.3.6

从 $- 2$ 中减去 $7$ 。

$- 9 + 9$

解题步骤 1.2.2.11.1.1.3.7

将 $- 9$ 和 $9$ 相加。

$0$

解题步骤 1.2.2.11.1.1.4

因为 $- 1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} + 9}{x + 1}$

解题步骤 1.2.2.11.1.1.5

用 $2 x^{3} - 7 x^{2} + 9$ 除以 $x + 1$ 。

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解题步骤 1.2.2.11.1.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$9$

解题步骤 1.2.2.11.1.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $2 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$

解题步骤 1.2.2.11.1.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

解题步骤 1.2.2.11.1.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{3} + 2 x^{2}$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

解题步骤 1.2.2.11.1.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$

解题步骤 1.2.2.11.1.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$0 x$

解题步骤 1.2.2.11.1.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 9 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$0 x$

解题步骤 1.2.2.11.1.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$

解题步骤 1.2.2.11.1.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 9 x^{2} - 9 x$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$

解题步骤 1.2.2.11.1.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$9 x$

解题步骤 1.2.2.11.1.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$9 x$	+	$9$

解题步骤 1.2.2.11.1.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $9 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$9$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$9 x$	+	$9$

解题步骤 1.2.2.11.1.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$9$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$9 x$	+	$9$
							+	$9 x$	+	$9$

解题步骤 1.2.2.11.1.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $9 x + 9$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$9$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$9 x$	+	$9$
							-	$9 x$	-	$9$

解题步骤 1.2.2.11.1.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$9$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$9 x$	+	$9$
							-	$9 x$	-	$9$
										$0$

解题步骤 1.2.2.11.1.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$2 x^{2} - 9 x + 9$

解题步骤 1.2.2.11.1.1.6

将 $2 x^{3} - 7 x^{2} + 9$ 书写为因数的集合。

$(x - 5) ((x + 1) (2 x^{2} - 9 x + 9)) = 0$

解题步骤 1.2.2.11.1.2

分组因式分解。

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解题步骤 1.2.2.11.1.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 1.2.2.11.1.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot 9 = 18$ 并且它们的和为 $b = - 9$ 。

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解题步骤 1.2.2.11.1.2.1.1.1

从 $- 9 x$ 中分解出因数 $- 9$ 。

$(x - 5) ((x + 1) (2 x^{2} - 9 x + 9)) = 0$

解题步骤 1.2.2.11.1.2.1.1.2

把 $- 9$ 重写为 $- 3$ 加 $- 6$

$(x - 5) ((x + 1) (2 x^{2} + (- 3 - 6) x + 9)) = 0$

解题步骤 1.2.2.11.1.2.1.1.3

运用分配律。

$(x - 5) ((x + 1) (2 x^{2} - 3 x - 6 x + 9)) = 0$

解题步骤 1.2.2.11.1.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.2.2.11.1.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x - 5) ((x + 1) ((2 x^{2} - 3 x) - 6 x + 9)) = 0$

解题步骤 1.2.2.11.1.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x - 5) ((x + 1) (x (2 x - 3) - 3 (2 x - 3))) = 0$

解题步骤 1.2.2.11.1.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $2 x - 3$ 来因式分解多项式。

$(x - 5) ((x + 1) ((2 x - 3) (x - 3))) = 0$

解题步骤 1.2.2.11.1.2.2

去掉多余的括号。

$(x - 5) ((x + 1) (2 x - 3) (x - 3)) = 0$

解题步骤 1.2.2.11.2

去掉多余的括号。

$(x - 5) (x + 1) (2 x - 3) (x - 3) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

$x - 3 = 0$

解题步骤 1.2.4

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 1.2.4.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 1.2.5

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 1.2.6

将 $2 x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $2 x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$2 x - 3 = 0$

解题步骤 1.2.6.2

求解 $x$ 的 $2 x - 3 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.6.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$2 x = 3$

解题步骤 1.2.6.2.2

将 $2 x = 3$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 1.2.6.2.2.1

将 $2 x = 3$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

解题步骤 1.2.6.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.6.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

解题步骤 1.2.6.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{3}{2}$

解题步骤 1.2.7

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.7.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 1.2.7.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 1.2.8

最终解为使 $(x - 5) (x + 1) (2 x - 3) (x - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 5, - 1, \frac{3}{2}, 3$

解题步骤 1.3

以点的形式表示的 x 轴截距。

x 轴截距： $(5, 0), (- 1, 0), (\frac{3}{2}, 0), (3, 0)$

解题步骤 2

求 y 轴截距

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解题步骤 2.1

要求 y 轴截距，请将 $0$ 代入 $x$ 并求解 $y$ 。

$y = 2 {(0)}^{4} - 17 {(0)}^{3} + 35 {(0)}^{2} + 9 (0) - 45$

解题步骤 2.2

求解方程。

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解题步骤 2.2.1

去掉圆括号。

$y = 2 \cdot 0^{4} - 17 {(0)}^{3} + 35 {(0)}^{2} + 9 (0) - 45$

解题步骤 2.2.2

去掉圆括号。

$y = 2 \cdot 0^{4} - 17 \cdot 0^{3} + 35 {(0)}^{2} + 9 (0) - 45$

解题步骤 2.2.3

去掉圆括号。

$y = 2 \cdot 0^{4} - 17 \cdot 0^{3} + 35 \cdot 0^{2} + 9 (0) - 45$

解题步骤 2.2.4

去掉圆括号。

$y = 2 {(0)}^{4} - 17 {(0)}^{3} + 35 {(0)}^{2} + 9 (0) - 45$

解题步骤 2.2.5

化简 $2 {(0)}^{4} - 17 {(0)}^{3} + 35 {(0)}^{2} + 9 (0) - 45$ 。

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解题步骤 2.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.5.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 2 \cdot 0 - 17 {(0)}^{3} + 35 {(0)}^{2} + 9 (0) - 45$

解题步骤 2.2.5.1.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$y = 0 - 17 {(0)}^{3} + 35 {(0)}^{2} + 9 (0) - 45$

解题步骤 2.2.5.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 0 - 17 \cdot 0 + 35 {(0)}^{2} + 9 (0) - 45$

解题步骤 2.2.5.1.4

将 $- 17$ 乘以 $0$ 。

$y = 0 + 0 + 35 {(0)}^{2} + 9 (0) - 45$

解题步骤 2.2.5.1.5

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 0 + 0 + 35 \cdot 0 + 9 (0) - 45$

解题步骤 2.2.5.1.6

将 $35$ 乘以 $0$ 。

$y = 0 + 0 + 0 + 9 (0) - 45$

解题步骤 2.2.5.1.7

将 $9$ 乘以 $0$ 。

$y = 0 + 0 + 0 + 0 - 45$

解题步骤 2.2.5.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$y = 0 + 0 + 0 - 45$

解题步骤 2.2.5.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$y = 0 + 0 - 45$

解题步骤 2.2.5.2.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$y = 0 - 45$

解题步骤 2.2.5.2.4

从 $0$ 中减去 $45$ 。

$y = - 45$

解题步骤 2.3

以点的形式表示的 y 轴截距。

y 轴截距： $(0, - 45)$

解题步骤 3

列出交点。

x 轴截距： $(5, 0), (- 1, 0), (\frac{3}{2}, 0), (3, 0)$

y 轴截距： $(0, - 45)$

解题步骤 4

初级微积分 示例

初级微积分示例