初级微积分示例

$f (x) = \frac{4}{x^{2} + 6 x - 5}$

解题步骤 1

将 $\frac{4}{x^{2} + 6 x - 5}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} + 6 x - 5 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 6$ 和 $c = - 5$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.3.1.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ 。

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解题步骤 2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 5$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 20}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.3

将 $36$ 和 $20$ 相加。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.4

将 $56$ 重写为 $2^{2} \cdot 14$ 。

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解题步骤 2.3.1.4.1

从 $56$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$

解题步骤 2.3.3

化简 $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$ 。

$x = - 3 \pm \sqrt{14}$

解题步骤 2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.1.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ 。

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解题步骤 2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 5$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 20}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.3

将 $36$ 和 $20$ 相加。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.4

将 $56$ 重写为 $2^{2} \cdot 14$ 。

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解题步骤 2.4.1.4.1

从 $56$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$

解题步骤 2.4.3

化简 $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$ 。

$x = - 3 \pm \sqrt{14}$

解题步骤 2.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = - 3 + \sqrt{14}$

解题步骤 2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.1.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ 。

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解题步骤 2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 5$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 20}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.3

将 $36$ 和 $20$ 相加。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.4

将 $56$ 重写为 $2^{2} \cdot 14$ 。

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解题步骤 2.5.1.4.1

从 $56$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$

解题步骤 2.5.3

化简 $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$ 。

$x = - 3 \pm \sqrt{14}$

解题步骤 2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = - 3 - \sqrt{14}$

解题步骤 2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - 3 + \sqrt{14}, - 3 - \sqrt{14}$

解题步骤 3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, - 3 - \sqrt{14}) \cup (- 3 - \sqrt{14}, - 3 + \sqrt{14}) \cup (- 3 + \sqrt{14}, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq - 3 + \sqrt{14}, - 3 - \sqrt{14}}$

解题步骤 4

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$(- \infty, - \frac{2}{7}] \cup (0, \infty)$

集合符号：

${y | y \leq - \frac{2}{7}, y > 0}$

解题步骤 5

确定定义域和值域。

定义域： $(- \infty, - 3 - \sqrt{14}) \cup (- 3 - \sqrt{14}, - 3 + \sqrt{14}) \cup (- 3 + \sqrt{14}, \infty), {x | x \neq - 3 + \sqrt{14}, - 3 - \sqrt{14}}$

值域： $(- \infty, - \frac{2}{7}] \cup (0, \infty), {y | y \leq - \frac{2}{7}, y > 0}$

解题步骤 6

初级微积分 示例

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