初级微积分示例

$y = \log_{3} (3 x)$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \log_{3} (3 y)$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\log_{3} (3 y) = x$ 。

$\log_{3} (3 y) = x$

解题步骤 2.2

使用对数的定义将 $\log_{3} (3 y) = x$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$3^{x} = 3 y$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

将方程重写为 $3 y = 3^{x}$ 。

$3 y = 3^{x}$

解题步骤 2.3.2

将 $3 y = 3^{x}$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $3 y = 3^{x}$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 y}{3} = \frac{3^{x}}{3}$

解题步骤 2.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 y}{3} = \frac{3^{x}}{3}$

解题步骤 2.3.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{3^{x}}{3}$

解题步骤 2.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.3.1

约去 $3^{x}$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.3.1.1

从 $3^{x}$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{3 \cdot 3^{x - 1}}{3}$

解题步骤 2.3.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.3.1.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{3 \cdot 3^{x - 1}}{3 (1)}$

解题步骤 2.3.2.3.1.2.2

约去公因数。

$y = \frac{3 \cdot 3^{x - 1}}{3 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.2.3.1.2.3

重写表达式。

$y = \frac{3^{x - 1}}{1}$

解题步骤 2.3.2.3.1.2.4

用 $3^{x - 1}$ 除以 $1$ 。

$y = 3^{x - 1}$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = 3^{x - 1}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = 3^{x - 1}$ 是否为 $f (x) = \log_{3} (3 x)$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\log_{3} (3 x))$ 。

$f^{- 1} (\log_{3} (3 x)) = 3^{(\log_{3} (3 x)) - 1}$

解题步骤 4.2.3

去掉圆括号。

$f^{- 1} (\log_{3} (3 x)) = 3^{\log_{3} (3 x) - 1}$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (3^{x - 1})$ 。

$f (3^{x - 1}) = \log_{3} (3 (3^{x - 1}))$

解题步骤 4.3.3

将 $\log_{3} (3 (3^{x - 1}))$ 重写为 $\log_{3} (3) + \log_{3} (3^{x - 1})$ 。

$f (3^{x - 1}) = \log_{3} (3) + \log_{3} (3^{x - 1})$

解题步骤 4.3.4

使用对数规则把 $x - 1$ 移到指数外部。

$f (3^{x - 1}) = \log_{3} (3) + (x - 1) \log_{3} (3)$

解题步骤 4.3.5

$3$ 的对数底 $3$ 的值为 $1$ 。

$f (3^{x - 1}) = \log_{3} (3) + (x - 1) \cdot 1$

解题步骤 4.3.6

将 $x - 1$ 乘以 $1$ 。

$f (3^{x - 1}) = \log_{3} (3) + x - 1$

解题步骤 4.3.7

$3$ 的对数底 $3$ 的值为 $1$ 。

$f (3^{x - 1}) = 1 + x - 1$

解题步骤 4.3.8

合并 $1 + x - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.8.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (3^{x - 1}) = x + 0$

解题步骤 4.3.8.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (3^{x - 1}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = 3^{x - 1}$ 为 $f (x) = \log_{3} (3 x)$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = 3^{x - 1}$

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