初级微积分示例

$f (x) = \frac{x^{2} - 9}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 1

将 $\frac{x^{2} - 9}{2 x^{2} + 1}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$2 x^{2} + 1 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 x^{2} = - 1$

解题步骤 2.2

将 $2 x^{2} = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $2 x^{2} = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 2.4

化简 $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $- \frac{1}{2}$ 重写为 $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ 。

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解题步骤 2.4.1.1

将 $- 1$ 重写为 $i^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

解题步骤 2.4.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

解题步骤 2.4.2

从根式下提出各项。

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

解题步骤 2.4.3

一的任意次幂都为一。

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.4.4

将 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 2.4.5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 2.4.6

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

解题步骤 2.4.7

合并和化简分母。

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解题步骤 2.4.7.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 2.4.7.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 2.4.7.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 2.4.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.4.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 2.4.7.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.4.7.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.4.7.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.4.7.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.4.7.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.7.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.4.7.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 2.4.7.6.5

计算指数。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.4.8

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$x = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3

定义域为全体实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[- 9, \frac{1}{2})$

集合符号：

${y | - 9 \leq y < \frac{1}{2}}$

解题步骤 5

确定定义域和值域。

定义域： $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

值域： $[- 9, \frac{1}{2}), {y | - 9 \leq y < \frac{1}{2}}$

解题步骤 6

初级微积分 示例

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