初级微积分示例

$f (x) = \frac{4 x^{2} + 1}{x^{2} + x + 16}$

解题步骤 1

将 $\frac{4 x^{2} + 1}{x^{2} + x + 16}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} + x + 16 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 1$ 和 $c = 16$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.3.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ 。

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解题步骤 2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $16$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.3

从 $1$ 中减去 $64$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.4

将 $- 63$ 重写为 $- 1 (63)$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (63)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.7

将 $63$ 重写为 $3^{2} \cdot 7$ 。

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解题步骤 2.3.1.7.1

从 $63$ 中分解出因数 $9$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.7.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.9

将 $3$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ 。

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解题步骤 2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $16$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.3

从 $1$ 中减去 $64$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.4

将 $- 63$ 重写为 $- 1 (63)$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (63)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.7

将 $63$ 重写为 $3^{2} \cdot 7$ 。

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解题步骤 2.4.1.7.1

从 $63$ 中分解出因数 $9$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.7.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.9

将 $3$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 2.4.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 1 + 3 i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 2.4.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + 3 i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 2.4.5

从 $3 i \sqrt{7}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- 3 i \sqrt{7})}{2}$

解题步骤 2.4.6

从 $- 1 (1) - (- 3 i \sqrt{7})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 - 3 i \sqrt{7})}{2}$

解题步骤 2.4.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ 。

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解题步骤 2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $16$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.3

从 $1$ 中减去 $64$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.4

将 $- 63$ 重写为 $- 1 (63)$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (63)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.7

将 $63$ 重写为 $3^{2} \cdot 7$ 。

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解题步骤 2.5.1.7.1

从 $63$ 中分解出因数 $9$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.7.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.9

将 $3$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 2.5.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 1 - 3 i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 2.5.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 3 i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 2.5.5

从 $- 3 i \sqrt{7}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (3 i \sqrt{7})}{2}$

解题步骤 2.5.6

从 $- 1 (1) - (3 i \sqrt{7})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 + 3 i \sqrt{7})}{2}$

解题步骤 2.5.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 3

定义域为全体实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[\frac{130 - 2 \sqrt{3973}}{63}, \frac{130 + 2 \sqrt{3973}}{63}]$

集合符号：

${y | \frac{130 - 2 \sqrt{3973}}{63} \leq y \leq \frac{130 + 2 \sqrt{3973}}{63}}$

解题步骤 5

确定定义域和值域。

定义域： $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

值域： $[\frac{130 - 2 \sqrt{3973}}{63}, \frac{130 + 2 \sqrt{3973}}{63}], {y | \frac{130 - 2 \sqrt{3973}}{63} \leq y \leq \frac{130 + 2 \sqrt{3973}}{63}}$

解题步骤 6

初级微积分 示例

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