初级微积分示例

$f (x) = \frac{2 x}{3 x - 1}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{2 x}{3 x - 1}$ 写为等式。

$y = \frac{2 x}{3 x - 1}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{2 y}{3 y - 1}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程乘以 $3 y - 1$ 。

$(3 y - 1) (x) = (\frac{2 y}{3 y - 1}) (3 y - 1)$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简 $(3 y - 1) (x)$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

运用分配律。

$3 y x - 1 x = (\frac{2 y}{3 y - 1}) (3 y - 1)$

解题步骤 3.2.1.2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$3 y x - x = (\frac{2 y}{3 y - 1}) (3 y - 1)$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

约去 $3 y - 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1

约去公因数。

$3 y x - x = \frac{2 y}{3 y - 1} (3 y - 1)$

解题步骤 3.3.1.2

重写表达式。

$3 y x - x = 2 y$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

从等式两边同时减去 $2 y$ 。

$3 y x - x - 2 y = 0$

解题步骤 3.4.2

在等式两边都加上 $x$ 。

$3 y x - 2 y = x$

解题步骤 3.4.3

从 $3 y x - 2 y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 3.4.3.1

从 $3 y x$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (3 x) - 2 y = x$

解题步骤 3.4.3.2

从 $- 2 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (3 x) + y \cdot - 2 = x$

解题步骤 3.4.3.3

从 $y (3 x) + y \cdot - 2$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (3 x - 2) = x$

解题步骤 3.4.4

将 $y (3 x - 2) = x$ 中的每一项除以 $3 x - 2$ 并化简。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $y (3 x - 2) = x$ 中的每一项都除以 $3 x - 2$ 。

$\frac{y (3 x - 2)}{3 x - 2} = \frac{x}{3 x - 2}$

解题步骤 3.4.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.4.2.1

约去 $3 x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y (3 x - 2)}{3 x - 2} = \frac{x}{3 x - 2}$

解题步骤 3.4.4.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x}{3 x - 2}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3 x - 2}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3 x - 2}$ 是否为 $f (x) = \frac{2 x}{3 x - 1}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1})$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 1}}{3 (\frac{2 x}{3 x - 1}) - 2}$

解题步骤 5.2.3

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{3 (\frac{2 x}{3 x - 1}) - 2}$

解题步骤 5.2.4

化简分母。

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解题步骤 5.2.4.1

乘以 $3 \frac{2 x}{3 x - 1}$ 。

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解题步骤 5.2.4.1.1

组合 $3$ 和 $\frac{2 x}{3 x - 1}$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{3 (2 x)}{3 x - 1} - 2}$

解题步骤 5.2.4.1.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 x}{3 x - 1} - 2}$

解题步骤 5.2.4.2

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 x}{3 x - 1} - 2 \cdot \frac{3 x - 1}{3 x - 1}}$

解题步骤 5.2.4.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 x}{3 x - 1} + \frac{- 2 (3 x - 1)}{3 x - 1}}$

解题步骤 5.2.4.4

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 x - 2 (3 x - 1)}{3 x - 1}}$

解题步骤 5.2.4.5

以因式分解的形式重写 $\frac{6 x - 2 (3 x - 1)}{3 x - 1}$ 。

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解题步骤 5.2.4.5.1

从 $6 x - 2 (3 x - 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.2.4.5.1.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x) - 2 (3 x - 1)}{3 x - 1}}$

解题步骤 5.2.4.5.1.2

从 $- 2 (3 x - 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x) + 2 (- (3 x - 1))}{3 x - 1}}$

解题步骤 5.2.4.5.1.3

从 $2 (3 x) + 2 (- (3 x - 1))$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x - (3 x - 1))}{3 x - 1}}$

解题步骤 5.2.4.5.2

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x - (3 x) + 1)}{3 x - 1}}$

解题步骤 5.2.4.5.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x - 3 x + 1)}{3 x - 1}}$

解题步骤 5.2.4.5.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x - 3 x + 1)}{3 x - 1}}$

解题步骤 5.2.4.5.5

从 $3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (0 + 1)}{3 x - 1}}$

解题步骤 5.2.4.5.6

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{3 x - 1}}$

解题步骤 5.2.4.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3 x - 1}}$

解题步骤 5.2.5

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot (1 (\frac{3 x - 1}{2}))$

解题步骤 5.2.6

将 $\frac{3 x - 1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{3 x - 1}{2}$

解题步骤 5.2.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.7.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 (x)}{3 x - 1} \cdot \frac{3 x - 1}{2}$

解题步骤 5.2.7.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{3 x - 1}{2}$

解题步骤 5.2.7.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1)$

解题步骤 5.2.8

约去 $3 x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.8.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1)$

解题步骤 5.2.8.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{x}{3 x - 2})$ 。

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{2 (\frac{x}{3 x - 2})}{3 (\frac{x}{3 x - 2}) - 1}$

解题步骤 5.3.3

组合 $2$ 和 $\frac{x}{3 x - 2}$ 。

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{3 (\frac{x}{3 x - 2}) - 1}$

解题步骤 5.3.4

化简分母。

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解题步骤 5.3.4.1

组合 $3$ 和 $\frac{x}{3 x - 2}$ 。

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x}{3 x - 2} - 1}$

解题步骤 5.3.4.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ 。

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x}{3 x - 2} - 1 \cdot \frac{3 x - 2}{3 x - 2}}$

解题步骤 5.3.4.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ 。

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x}{3 x - 2} + \frac{- (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

解题步骤 5.3.4.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x - (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

解题步骤 5.3.4.5

以因式分解的形式重写 $\frac{3 x - (3 x - 2)}{3 x - 2}$ 。

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解题步骤 5.3.4.5.1

运用分配律。

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x - (3 x) + 2}{3 x - 2}}$

解题步骤 5.3.4.5.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x - 3 x + 2}{3 x - 2}}$

解题步骤 5.3.4.5.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x - 3 x + 2}{3 x - 2}}$

解题步骤 5.3.4.5.4

从 $3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{0 + 2}{3 x - 2}}$

解题步骤 5.3.4.5.5

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{2}{3 x - 2}}$

解题步骤 5.3.5

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{2 x}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{2}$

解题步骤 5.3.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.6.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{2 (x)}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{2}$

解题步骤 5.3.6.2

约去公因数。

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{2 x}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{2}$

解题步骤 5.3.6.3

重写表达式。

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$

解题步骤 5.3.7

约去 $3 x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.7.1

约去公因数。

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$

解题步骤 5.3.7.2

重写表达式。

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3 x - 2}$ 为 $f (x) = \frac{2 x}{3 x - 1}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3 x - 2}$

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