初级微积分示例

$f (x) = \frac{2 x + 5}{x - 7}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{2 x + 5}{x - 7}$ 写为等式。

$y = \frac{2 x + 5}{x - 7}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{2 y + 5}{y - 7}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程乘以 $y - 7$ 。

$(y - 7) (x) = (\frac{2 y + 5}{y - 7}) (y - 7)$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

运用分配律。

$y x - 7 x = (\frac{2 y + 5}{y - 7}) (y - 7)$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

约去 $y - 7$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1

约去公因数。

$y x - 7 x = \frac{2 y + 5}{y - 7} (y - 7)$

解题步骤 3.3.1.2

重写表达式。

$y x - 7 x = 2 y + 5$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

从等式两边同时减去 $2 y$ 。

$y x - 7 x - 2 y = 5$

解题步骤 3.4.2

在等式两边都加上 $7 x$ 。

$y x - 2 y = 5 + 7 x$

解题步骤 3.4.3

从 $y x - 2 y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 3.4.3.1

从 $y x$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (x) - 2 y = 5 + 7 x$

解题步骤 3.4.3.2

从 $- 2 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (x) + y \cdot - 2 = 5 + 7 x$

解题步骤 3.4.3.3

从 $y (x) + y \cdot - 2$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (x - 2) = 5 + 7 x$

解题步骤 3.4.4

将 $y (x - 2) = 5 + 7 x$ 中的每一项除以 $x - 2$ 并化简。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $y (x - 2) = 5 + 7 x$ 中的每一项都除以 $x - 2$ 。

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{5}{x - 2} + \frac{7 x}{x - 2}$

解题步骤 3.4.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.4.2.1

约去 $x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{5}{x - 2} + \frac{7 x}{x - 2}$

解题步骤 3.4.4.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{5}{x - 2} + \frac{7 x}{x - 2}$

解题步骤 3.4.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.4.3.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{5 + 7 x}{x - 2}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 + 7 x}{x - 2}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{5 + 7 x}{x - 2}$ 是否为 $f (x) = \frac{2 x + 5}{x - 7}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7})$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{5 + 7 (\frac{2 x + 5}{x - 7})}{(\frac{2 x + 5}{x - 7}) - 2}$

解题步骤 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 7$ .

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解题步骤 5.2.3.1

将 $\frac{5 + 7 \frac{2 x + 5}{x - 7}}{\frac{2 x + 5}{x - 7} - 2}$ 乘以 $\frac{x - 7}{x - 7}$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{x - 7}{x - 7} \cdot \frac{5 + 7 (\frac{2 x + 5}{x - 7})}{\frac{2 x + 5}{x - 7} - 2}$

解题步骤 5.2.3.2

合并。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (5 + 7 (\frac{2 x + 5}{x - 7}))}{(x - 7) (\frac{2 x + 5}{x - 7} - 2)}$

解题步骤 5.2.4

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) \cdot 5 + (x - 7) (7 (\frac{2 x + 5}{x - 7}))}{(x - 7) (\frac{2 x + 5}{x - 7}) + (x - 7) \cdot - 2}$

解题步骤 5.2.5

约去 $x - 7$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.5.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) \cdot 5 + (x - 7) (7 (\frac{2 x + 5}{x - 7}))}{(x - 7) (\frac{2 x + 5}{x - 7}) + (x - 7) \cdot - 2}$

解题步骤 5.2.5.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) \cdot 5 + (x - 7) (7 (\frac{2 x + 5}{x - 7}))}{2 x + 5 + (x - 7) \cdot - 2}$

解题步骤 5.2.6

化简分子。

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解题步骤 5.2.6.1

从 $(x - 7) \cdot 5 + (x - 7) \cdot 7 \frac{2 x + 5}{x - 7}$ 中分解出因数 $x - 7$ 。

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解题步骤 5.2.6.1.1

从 $(x - 7) \cdot 5$ 中分解出因数 $x - 7$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (5) + (x - 7) (7 (\frac{2 x + 5}{x - 7}))}{2 x + 5 + (x - 7) \cdot - 2}$

解题步骤 5.2.6.1.2

从 $(x - 7) (5) + (x - 7) (7 \frac{2 x + 5}{x - 7})$ 中分解出因数 $x - 7$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (5 + 7 (\frac{2 x + 5}{x - 7}))}{2 x + 5 + (x - 7) \cdot - 2}$

解题步骤 5.2.6.2

组合 $7$ 和 $\frac{2 x + 5}{x - 7}$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (5 + \frac{7 (2 x + 5)}{x - 7})}{2 x + 5 + (x - 7) \cdot - 2}$

解题步骤 5.2.6.3

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 7}{x - 7}$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (\frac{5 (x - 7)}{x - 7} + \frac{7 (2 x + 5)}{x - 7})}{2 x + 5 + (x - 7) \cdot - 2}$

解题步骤 5.2.6.4

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (\frac{5 (x - 7) + 7 (2 x + 5)}{x - 7})}{2 x + 5 + (x - 7) \cdot - 2}$

解题步骤 5.2.6.5

重新排序项。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (\frac{7 (2 x + 5) + 5 (x - 7)}{x - 7})}{2 x + 5 + (x - 7) \cdot - 2}$

解题步骤 5.2.6.6

以因式分解的形式重写 $\frac{7 (2 x + 5) + 5 (x - 7)}{x - 7}$ 。

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解题步骤 5.2.6.6.1

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (\frac{7 (2 x) + 7 \cdot 5 + 5 (x - 7)}{x - 7})}{2 x + 5 + (x - 7) \cdot - 2}$

解题步骤 5.2.6.6.2

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (\frac{14 x + 7 \cdot 5 + 5 (x - 7)}{x - 7})}{2 x + 5 + (x - 7) \cdot - 2}$

解题步骤 5.2.6.6.3

将 $7$ 乘以 $5$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (\frac{14 x + 35 + 5 (x - 7)}{x - 7})}{2 x + 5 + (x - 7) \cdot - 2}$

解题步骤 5.2.6.6.4

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (\frac{14 x + 35 + 5 x + 5 \cdot - 7}{x - 7})}{2 x + 5 + (x - 7) \cdot - 2}$

解题步骤 5.2.6.6.5

将 $5$ 乘以 $- 7$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (\frac{14 x + 35 + 5 x - 35}{x - 7})}{2 x + 5 + (x - 7) \cdot - 2}$

解题步骤 5.2.6.6.6

将 $14 x$ 和 $5 x$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (\frac{19 x + 35 - 35}{x - 7})}{2 x + 5 + (x - 7) \cdot - 2}$

解题步骤 5.2.6.6.7

从 $35$ 中减去 $35$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (\frac{19 x + 0}{x - 7})}{2 x + 5 + (x - 7) \cdot - 2}$

解题步骤 5.2.6.6.8

将 $19 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (\frac{19 x}{x - 7})}{2 x + 5 + (x - 7) \cdot - 2}$

解题步骤 5.2.7

化简分母。

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解题步骤 5.2.7.1

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (\frac{19 x}{x - 7})}{2 x + 5 + x \cdot - 2 - 7 \cdot - 2}$

解题步骤 5.2.7.2

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (\frac{19 x}{x - 7})}{2 x + 5 - 2 \cdot x - 7 \cdot - 2}$

解题步骤 5.2.7.3

将 $- 7$ 乘以 $- 2$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (\frac{19 x}{x - 7})}{2 x + 5 - 2 \cdot x + 14}$

解题步骤 5.2.7.4

从 $2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (\frac{19 x}{x - 7})}{0 + 5 + 14}$

解题步骤 5.2.7.5

将 $0$ 和 $5$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (\frac{19 x}{x - 7})}{5 + 14}$

解题步骤 5.2.7.6

将 $5$ 和 $14$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (\frac{19 x}{x - 7})}{19}$

解题步骤 5.2.8

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.2.8.1

从 $\frac{(x - 7) \frac{19 x}{x - 7}}{19}$ 中分解出因数 $\frac{19 x}{x - 7}$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{19 x}{x - 7} \cdot \frac{x - 7}{19}$

解题步骤 5.2.8.2

约去 $19$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.8.2.1

从 $19 x$ 中分解出因数 $19$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{19 (x)}{x - 7} \cdot \frac{x - 7}{19}$

解题步骤 5.2.8.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{19 x}{x - 7} \cdot \frac{x - 7}{19}$

解题步骤 5.2.8.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{x}{x - 7} \cdot (x - 7)$

解题步骤 5.2.8.3

约去 $x - 7$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.8.3.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{x}{x - 7} \cdot (x - 7)$

解题步骤 5.2.8.3.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{5 + 7 x}{x - 2})$ 。

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) + 5}{(\frac{5 + 7 x}{x - 2}) - 7}$

解题步骤 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 2$ .

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解题步骤 5.3.3.1

将 $\frac{2 \frac{5 + 7 x}{x - 2} + 5}{\frac{5 + 7 x}{x - 2} - 7}$ 乘以 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 。

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{x - 2}{x - 2} \cdot \frac{2 (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) + 5}{\frac{5 + 7 x}{x - 2} - 7}$

解题步骤 5.3.3.2

合并。

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) + 5)}{(x - 2) (\frac{5 + 7 x}{x - 2} - 7)}$

解题步骤 5.3.4

运用分配律。

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{5 + 7 x}{x - 2})) + (x - 2) \cdot 5}{(x - 2) (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 7}$

解题步骤 5.3.5

约去 $x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.5.1

约去公因数。

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{5 + 7 x}{x - 2})) + (x - 2) \cdot 5}{(x - 2) (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 7}$

解题步骤 5.3.5.2

重写表达式。

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{5 + 7 x}{x - 2})) + (x - 2) \cdot 5}{5 + 7 x + (x - 2) \cdot - 7}$

解题步骤 5.3.6

化简分子。

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解题步骤 5.3.6.1

从 $(x - 2) \cdot 2 \frac{5 + 7 x}{x - 2} + (x - 2) \cdot 5$ 中分解出因数 $x - 2$ 。

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解题步骤 5.3.6.1.1

从 $(x - 2) \cdot 2 \frac{5 + 7 x}{x - 2}$ 中分解出因数 $x - 2$ 。

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{5 + 7 x}{x - 2})) + (x - 2) \cdot 5}{5 + 7 x + (x - 2) \cdot - 7}$

解题步骤 5.3.6.1.2

从 $(x - 2) \cdot 5$ 中分解出因数 $x - 2$ 。

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{5 + 7 x}{x - 2})) + (x - 2) (5)}{5 + 7 x + (x - 2) \cdot - 7}$

解题步骤 5.3.6.1.3

从 $(x - 2) (2 \frac{5 + 7 x}{x - 2}) + (x - 2) (5)$ 中分解出因数 $x - 2$ 。

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) + 5)}{5 + 7 x + (x - 2) \cdot - 7}$

解题步骤 5.3.6.2

组合 $2$ 和 $\frac{5 + 7 x}{x - 2}$ 。

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (5 + 7 x)}{x - 2} + 5)}{5 + 7 x + (x - 2) \cdot - 7}$

解题步骤 5.3.6.3

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 。

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (5 + 7 x)}{x - 2} + \frac{5 (x - 2)}{x - 2})}{5 + 7 x + (x - 2) \cdot - 7}$

解题步骤 5.3.6.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (5 + 7 x) + 5 (x - 2)}{x - 2})}{5 + 7 x + (x - 2) \cdot - 7}$

解题步骤 5.3.6.5

重新排序项。

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 (x - 2) + 2 (5 + 7 x)}{x - 2})}{5 + 7 x + (x - 2) \cdot - 7}$

解题步骤 5.3.6.6

以因式分解的形式重写 $\frac{5 (x - 2) + 2 (5 + 7 x)}{x - 2}$ 。

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解题步骤 5.3.6.6.1

运用分配律。

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x + 5 \cdot - 2 + 2 (5 + 7 x)}{x - 2})}{5 + 7 x + (x - 2) \cdot - 7}$

解题步骤 5.3.6.6.2

将 $5$ 乘以 $- 2$ 。

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x - 10 + 2 (5 + 7 x)}{x - 2})}{5 + 7 x + (x - 2) \cdot - 7}$

解题步骤 5.3.6.6.3

运用分配律。

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x - 10 + 2 \cdot 5 + 2 (7 x)}{x - 2})}{5 + 7 x + (x - 2) \cdot - 7}$

解题步骤 5.3.6.6.4

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x - 10 + 10 + 2 (7 x)}{x - 2})}{5 + 7 x + (x - 2) \cdot - 7}$

解题步骤 5.3.6.6.5

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x - 10 + 10 + 14 x}{x - 2})}{5 + 7 x + (x - 2) \cdot - 7}$

解题步骤 5.3.6.6.6

将 $5 x$ 和 $14 x$ 相加。

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{19 x - 10 + 10}{x - 2})}{5 + 7 x + (x - 2) \cdot - 7}$

解题步骤 5.3.6.6.7

将 $- 10$ 和 $10$ 相加。

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{19 x + 0}{x - 2})}{5 + 7 x + (x - 2) \cdot - 7}$

解题步骤 5.3.6.6.8

将 $19 x$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{19 x}{x - 2})}{5 + 7 x + (x - 2) \cdot - 7}$

解题步骤 5.3.7

化简分母。

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解题步骤 5.3.7.1

运用分配律。

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{19 x}{x - 2})}{5 + 7 x + x \cdot - 7 - 2 \cdot - 7}$

解题步骤 5.3.7.2

将 $- 7$ 移到 $x$ 的左侧。

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{19 x}{x - 2})}{5 + 7 x - 7 \cdot x - 2 \cdot - 7}$

解题步骤 5.3.7.3

将 $- 2$ 乘以 $- 7$ 。

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{19 x}{x - 2})}{5 + 7 x - 7 \cdot x + 14}$

解题步骤 5.3.7.4

将 $5$ 和 $14$ 相加。

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{19 x}{x - 2})}{7 x - 7 x + 19}$

解题步骤 5.3.7.5

从 $7 x$ 中减去 $7 x$ 。

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{19 x}{x - 2})}{0 + 19}$

解题步骤 5.3.7.6

将 $0$ 和 $19$ 相加。

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{19 x}{x - 2})}{19}$

解题步骤 5.3.8

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.3.8.1

从 $\frac{(x - 2) \frac{19 x}{x - 2}}{19}$ 中分解出因数 $\frac{19 x}{x - 2}$ 。

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{19 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{19}$

解题步骤 5.3.8.2

约去 $19$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.8.2.1

从 $19 x$ 中分解出因数 $19$ 。

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{19 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{19}$

解题步骤 5.3.8.2.2

约去公因数。

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{19 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{19}$

解题步骤 5.3.8.2.3

重写表达式。

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

解题步骤 5.3.8.3

约去 $x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.8.3.1

约去公因数。

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

解题步骤 5.3.8.3.2

重写表达式。

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{5 + 7 x}{x - 2}$ 为 $f (x) = \frac{2 x + 5}{x - 7}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{5 + 7 x}{x - 2}$

初级微积分 示例

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