初级微积分示例

$f (x) = | x | + 1$

解题步骤 1

将 $f (x) = | x | + 1$ 写为等式。

$y = | x | + 1$

解题步骤 2

交换变量。

$x = | y | + 1$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $| y | + 1 = x$ 。

$| y | + 1 = x$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$| y | = x - 1$

解题步骤 3.3

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm (x - 1)$

解题步骤 3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = x - 1$

解题步骤 3.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - (x - 1)$

解题步骤 3.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = x - 1$

$y = - (x - 1)$

$y = x - 1$

$y = - (x - 1)$

$y = x - 1$

$y = - (x - 1)$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = x - 1, - (x - 1)$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = x - 1, - (x - 1)$ 是否为 $f (x) = | x | + 1$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = | x | + 1$ 和 $f^{- 1} (x) = x - 1, - (x - 1)$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 5.2

求 $f (x) = | x | + 1$ 的值域。

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解题步骤 5.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[1, \infty)$

解题步骤 5.3

求 $x - 1$ 的定义域。

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解题步骤 5.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 5.4

因为 $f^{- 1} (x) = x - 1, - (x - 1)$ 的定义域并不等于 $f (x) = | x | + 1$ 的值域，所以 $f^{- 1} (x) = x - 1, - (x - 1)$ 并非 $f (x) = | x | + 1$ 的反函数。

不存在反函数

解题步骤 6

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