初级微积分示例

$f (x) = \frac{x^{3} - 1}{2}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{x^{3} - 1}{2}$ 写为等式。

$y = \frac{x^{3} - 1}{2}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{y^{3} - 1}{2}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{y^{3} - 1}{2} = x$ 。

$\frac{y^{3} - 1}{2} = x$

解题步骤 3.2

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{y^{3} - 1}{2} = 2 x$

解题步骤 3.3

化简左边。

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解题步骤 3.3.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1

约去公因数。

$2 \frac{y^{3} - 1}{2} = 2 x$

解题步骤 3.3.1.2

重写表达式。

$y^{3} - 1 = 2 x$

解题步骤 3.4

在等式两边都加上 $1$ 。

$y^{3} = 2 x + 1$

解题步骤 3.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{2 x + 1}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$ 是否为 $f (x) = \frac{x^{3} - 1}{2}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2})$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3} - 1}{2}) + 1}$

解题步骤 5.2.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3} - 1^{3}}{2}) + 1}$

解题步骤 5.2.3.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}{2}) + 1}$

解题步骤 5.2.3.3

化简。

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解题步骤 5.2.3.3.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}{2}) + 1}$

解题步骤 5.2.3.3.2

一的任意次幂都为一。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{2}) + 1}$

解题步骤 5.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{2}) + 1}$

解题步骤 5.2.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 1}$

解题步骤 5.2.5

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1 + 1}$

解题步骤 5.2.6

化简项。

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解题步骤 5.2.6.1

合并 $x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.6.1.1

按照 $x \cdot 1$ 和 $- 1 x$ 重新排列因数。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1 + 1}$

解题步骤 5.2.6.1.2

从 $1 x$ 中减去 $1 x$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} + 0 - 1 \cdot 1 + 1}$

解题步骤 5.2.6.1.3

将 $x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

解题步骤 5.2.6.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.6.2.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.6.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.6.2.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

解题步骤 5.2.6.2.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{1 + 2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

解题步骤 5.2.6.2.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

解题步骤 5.2.6.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

解题步骤 5.2.6.2.3

将 $- 1 x^{2}$ 重写为 $- x^{2}$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

解题步骤 5.2.6.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1 + 1}$

解题步骤 5.2.6.3

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 5.2.6.3.1

合并 $x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.6.3.1.1

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0 - 1 + 1}$

解题步骤 5.2.6.3.1.2

将 $x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} - 1 + 1}$

解题步骤 5.2.6.3.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 5.2.6.3.2.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

解题步骤 5.2.6.3.2.2

将 $x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

解题步骤 5.2.7

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\sqrt[3]{2 x + 1})$ 。

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x + 1})}^{3} - 1}{2}$

解题步骤 5.3.3

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{{\sqrt[3]{2 x + 1}}^{3} - 1^{3}}{2}$

解题步骤 5.3.3.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = \sqrt[3]{2 x + 1}$ 和 $b = 1$ 。

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{(\sqrt[3]{2 x + 1} - 1) ({\sqrt[3]{2 x + 1}}^{2} + \sqrt[3]{2 x + 1} \cdot 1 + 1^{2})}{2}$

解题步骤 5.3.3.3

化简。

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解题步骤 5.3.3.3.1

将 ${\sqrt[3]{2 x + 1}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}}$ 。

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{(\sqrt[3]{2 x + 1} - 1) (\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}} + \sqrt[3]{2 x + 1} \cdot 1 + 1^{2})}{2}$

解题步骤 5.3.3.3.2

将 $\sqrt[3]{2 x + 1}$ 乘以 $1$ 。

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{(\sqrt[3]{2 x + 1} - 1) (\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}} + \sqrt[3]{2 x + 1} + 1^{2})}{2}$

解题步骤 5.3.3.3.3

一的任意次幂都为一。

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{(\sqrt[3]{2 x + 1} - 1) (\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}} + \sqrt[3]{2 x + 1} + 1)}{2}$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$ 为 $f (x) = \frac{x^{3} - 1}{2}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$

初级微积分 示例

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