初级微积分示例

$f (x) = \frac{6 x + 4}{4 x + 5}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{6 x + 4}{4 x + 5}$ 写为等式。

$y = \frac{6 x + 4}{4 x + 5}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{6 y + 4}{4 y + 5}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{6 y + 4}{4 y + 5} = x$ 。

$\frac{6 y + 4}{4 y + 5} = x$

解题步骤 3.2

从 $6 y + 4$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.2.1

从 $6 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 y) + 4}{4 y + 5} = x$

解题步骤 3.2.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 y) + 2 (2)}{4 y + 5} = x$

解题步骤 3.2.3

从 $2 (3 y) + 2 (2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 y + 2)}{4 y + 5} = x$

解题步骤 3.3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$4 y + 5, 1$

解题步骤 3.3.2

去掉圆括号。

$4 y + 5, 1$

解题步骤 3.3.3

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$4 y + 5$

解题步骤 3.4

将 $\frac{2 (3 y + 2)}{4 y + 5} = x$ 中的每一项乘以 $4 y + 5$ 以消去分数。

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解题步骤 3.4.1

将 $\frac{2 (3 y + 2)}{4 y + 5} = x$ 中的每一项乘以 $4 y + 5$ 。

$\frac{2 (3 y + 2)}{4 y + 5} (4 y + 5) = x (4 y + 5)$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1

约去 $4 y + 5$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 (3 y + 2)}{4 y + 5} (4 y + 5) = x (4 y + 5)$

解题步骤 3.4.2.1.2

重写表达式。

$2 (3 y + 2) = x (4 y + 5)$

解题步骤 3.4.2.2

运用分配律。

$2 (3 y) + 2 \cdot 2 = x (4 y + 5)$

解题步骤 3.4.2.3

乘。

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解题步骤 3.4.2.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 y + 2 \cdot 2 = x (4 y + 5)$

解题步骤 3.4.2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$6 y + 4 = x (4 y + 5)$

解题步骤 3.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.3.1

运用分配律。

$6 y + 4 = x (4 y) + x \cdot 5$

解题步骤 3.4.3.2

重新排序。

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解题步骤 3.4.3.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$6 y + 4 = 4 x y + x \cdot 5$

解题步骤 3.4.3.2.2

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$6 y + 4 = 4 x y + 5 x$

解题步骤 3.5

求解方程。

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解题步骤 3.5.1

从等式两边同时减去 $4 x y$ 。

$6 y + 4 - 4 x y = 5 x$

解题步骤 3.5.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$6 y - 4 x y = 5 x - 4$

解题步骤 3.5.3

从 $6 y - 4 x y$ 中分解出因数 $2 y$ 。

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解题步骤 3.5.3.1

从 $6 y$ 中分解出因数 $2 y$ 。

$2 y (3) - 4 x y = 5 x - 4$

解题步骤 3.5.3.2

从 $- 4 x y$ 中分解出因数 $2 y$ 。

$2 y (3) + 2 y (- 2 x) = 5 x - 4$

解题步骤 3.5.3.3

从 $2 y (3) + 2 y (- 2 x)$ 中分解出因数 $2 y$ 。

$2 y (3 - 2 x) = 5 x - 4$

解题步骤 3.5.4

将 $2 y (3 - 2 x) = 5 x - 4$ 中的每一项除以 $2 (3 - 2 x)$ 并化简。

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解题步骤 3.5.4.1

将 $2 y (3 - 2 x) = 5 x - 4$ 中的每一项都除以 $2 (3 - 2 x)$ 。

$\frac{2 y (3 - 2 x)}{2 (3 - 2 x)} = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{- 4}{2 (3 - 2 x)}$

解题步骤 3.5.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y (3 - 2 x)}{2 (3 - 2 x)} = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{- 4}{2 (3 - 2 x)}$

解题步骤 3.5.4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y (3 - 2 x)}{3 - 2 x} = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{- 4}{2 (3 - 2 x)}$

解题步骤 3.5.4.2.2

约去 $3 - 2 x$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y (3 - 2 x)}{3 - 2 x} = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{- 4}{2 (3 - 2 x)}$

解题步骤 3.5.4.2.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{- 4}{2 (3 - 2 x)}$

解题步骤 3.5.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.4.3.1.1

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.4.3.1.1.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (3 - 2 x)}$

解题步骤 3.5.4.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.4.3.1.1.2.1

约去公因数。

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (3 - 2 x)}$

解题步骤 3.5.4.3.1.1.2.2

重写表达式。

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{- 2}{3 - 2 x}$

解题步骤 3.5.4.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} - \frac{2}{3 - 2 x}$

解题步骤 3.5.4.3.2

要将 $- \frac{2}{3 - 2 x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} - \frac{2}{3 - 2 x} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 3.5.4.3.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $2 (3 - 2 x)$ 的形式。

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解题步骤 3.5.4.3.3.1

将 $\frac{2}{3 - 2 x}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} - \frac{2 \cdot 2}{(3 - 2 x) \cdot 2}$

解题步骤 3.5.4.3.3.2

重新排序 $(3 - 2 x) \cdot 2$ 的因式。

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} - \frac{2 \cdot 2}{2 (3 - 2 x)}$

解题步骤 3.5.4.3.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{5 x - 2 \cdot 2}{2 (3 - 2 x)}$

解题步骤 3.5.4.3.5

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}$ 是否为 $f (x) = \frac{6 x + 4}{4 x + 5}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5})$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{5 (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) - 4}{2 (3 - 2 \frac{6 x + 4}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.3

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 5.2.3.1

从 $6 x + 4$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.2.3.1.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{5 (\frac{2 (3 x) + 4}{4 x + 5}) - 4}{2 (3 - 2 \frac{6 x + 4}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.3.1.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{5 (\frac{2 (3 x) + 2 (2)}{4 x + 5}) - 4}{2 (3 - 2 \frac{6 x + 4}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.3.1.3

从 $2 (3 x) + 2 (2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{5 (\frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}) - 4}{2 (3 - 2 \frac{6 x + 4}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.3.2

从 $6 x + 4$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.2.3.2.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{5 (\frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}) - 4}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x) + 4}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.3.2.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{5 (\frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}) - 4}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x) + 2 (2)}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.3.2.3

从 $2 (3 x) + 2 (2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{5 (\frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}) - 4}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.4

化简分子。

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解题步骤 5.2.4.1

乘以 $5 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}$ 。

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解题步骤 5.2.4.1.1

组合 $5$ 和 $\frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{5 (2 (3 x + 2))}{4 x + 5} - 4}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.4.1.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{10 (3 x + 2)}{4 x + 5} - 4}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.4.2

要将 $- 4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4 x + 5}{4 x + 5}$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{10 (3 x + 2)}{4 x + 5} - 4 \cdot \frac{4 x + 5}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.4.3

组合 $- 4$ 和 $\frac{4 x + 5}{4 x + 5}$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{10 (3 x + 2)}{4 x + 5} + \frac{- 4 (4 x + 5)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.4.4

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{10 (3 x + 2) - 4 (4 x + 5)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.4.5

以因式分解的形式重写 $\frac{10 (3 x + 2) - 4 (4 x + 5)}{4 x + 5}$ 。

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解题步骤 5.2.4.5.1

从 $10 (3 x + 2) - 4 (4 x + 5)$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.2.4.5.1.1

从 $10 (3 x + 2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (5 (3 x + 2)) - 4 (4 x + 5)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.4.5.1.2

从 $- 4 (4 x + 5)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (5 (3 x + 2)) + 2 (- 2 (4 x + 5))}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.4.5.1.3

从 $2 (5 (3 x + 2)) + 2 (- 2 (4 x + 5))$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (5 (3 x + 2) - 2 (4 x + 5))}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.4.5.2

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (5 (3 x) + 5 \cdot 2 - 2 (4 x + 5))}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.4.5.3

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (15 x + 5 \cdot 2 - 2 (4 x + 5))}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.4.5.4

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (15 x + 10 - 2 (4 x + 5))}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.4.5.5

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (15 x + 10 - 2 (4 x) - 2 \cdot 5)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.4.5.6

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (15 x + 10 - 8 x - 2 \cdot 5)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.4.5.7

将 $- 2$ 乘以 $5$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (15 x + 10 - 8 x - 10)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.4.5.8

从 $15 x$ 中减去 $8 x$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (7 x + 10 - 10)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.4.5.9

从 $10$ 中减去 $10$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (7 x + 0)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.4.5.10

将 $7 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 \cdot (7 x)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.4.5.11

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.5

化简分母。

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解题步骤 5.2.5.1

乘以 $- 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}$ 。

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解题步骤 5.2.5.1.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (3 + \frac{- 2 (2 (3 x + 2))}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.5.1.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (3 + \frac{- 4 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.5.2

将负号移到分数的前面。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (3 - \frac{(4) (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.5.3

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4 x + 5}{4 x + 5}$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{3 (4 x + 5)}{4 x + 5} - \frac{4 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.5.4

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{3 (4 x + 5) - 4 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.5.5

以因式分解的形式重写 $\frac{3 (4 x + 5) - 4 (3 x + 2)}{4 x + 5}$ 。

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解题步骤 5.2.5.5.1

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{3 (4 x) + 3 \cdot 5 - 4 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.5.5.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{12 x + 3 \cdot 5 - 4 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.5.5.3

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{12 x + 15 - 4 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.5.5.4

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{12 x + 15 - 4 (3 x) - 4 \cdot 2}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.5.5.5

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{12 x + 15 - 12 x - 4 \cdot 2}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.5.5.6

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{12 x + 15 - 12 x - 8}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.5.5.7

从 $12 x$ 中减去 $12 x$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{0 + 15 - 8}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.5.5.8

将 $0$ 和 $15$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{15 - 8}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.5.5.9

从 $15$ 中减去 $8$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{7}{4 x + 5})}$

解题步骤 5.2.6

合并分数。

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解题步骤 5.2.6.1

组合 $2$ 和 $\frac{7}{4 x + 5}$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{\frac{2 \cdot 7}{4 x + 5}}$

解题步骤 5.2.6.2

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{\frac{14}{4 x + 5}}$

解题步骤 5.2.7

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{14 x}{4 x + 5} \cdot \frac{4 x + 5}{14}$

解题步骤 5.2.8

约去 $14$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.8.1

从 $14 x$ 中分解出因数 $14$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{14 (x)}{4 x + 5} \cdot \frac{4 x + 5}{14}$

解题步骤 5.2.8.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{14 x}{4 x + 5} \cdot \frac{4 x + 5}{14}$

解题步骤 5.2.8.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{x}{4 x + 5} \cdot (4 x + 5)$

解题步骤 5.2.9

约去 $4 x + 5$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.9.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{x}{4 x + 5} \cdot (4 x + 5)$

解题步骤 5.2.9.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)})$ 。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{6 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 4}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

解题步骤 5.3.3

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.1

从 $6 \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)} + 4$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.3.3.1.1

从 $6 \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (3 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)})) + 4}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

解题步骤 5.3.3.1.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (3 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)})) + 2 (2)}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

解题步骤 5.3.3.1.3

从 $2 (3 \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 2 (2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (3 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 2)}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

解题步骤 5.3.3.2

组合 $3$ 和 $\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}$ 。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{3 (5 x - 4)}{2 (3 - 2 x)} + 2)}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

解题步骤 5.3.3.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 (3 - 2 x)}{2 (3 - 2 x)}$ 。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{3 (5 x - 4)}{2 (3 - 2 x)} + 2 \cdot \frac{2 (3 - 2 x)}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

解题步骤 5.3.3.4

组合 $2$ 和 $\frac{2 (3 - 2 x)}{2 (3 - 2 x)}$ 。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{3 (5 x - 4)}{2 (3 - 2 x)} + \frac{2 (2 (3 - 2 x))}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

解题步骤 5.3.3.5

在公分母上合并分子。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{3 (5 x - 4) + 2 (2 (3 - 2 x))}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

解题步骤 5.3.3.6

以因式分解的形式重写 $\frac{3 (5 x - 4) + 2 (2 (3 - 2 x))}{2 (3 - 2 x)}$ 。

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解题步骤 5.3.3.6.1

运用分配律。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{3 (5 x) + 3 \cdot - 4 + 2 (2 (3 - 2 x))}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

解题步骤 5.3.3.6.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x + 3 \cdot - 4 + 2 (2 (3 - 2 x))}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

解题步骤 5.3.3.6.3

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x - 12 + 2 (2 (3 - 2 x))}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

解题步骤 5.3.3.6.4

运用分配律。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x - 12 + 2 (2 \cdot 3 + 2 (- 2 x))}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

解题步骤 5.3.3.6.5

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x - 12 + 2 (6 + 2 (- 2 x))}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

解题步骤 5.3.3.6.6

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x - 12 + 2 (6 - 4 x)}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

解题步骤 5.3.3.6.7

运用分配律。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x - 12 + 2 \cdot 6 + 2 (- 4 x)}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

解题步骤 5.3.3.6.8

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x - 12 + 12 + 2 (- 4 x)}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

解题步骤 5.3.3.6.9

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x - 12 + 12 - 8 x}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

解题步骤 5.3.3.6.10

从 $15 x$ 中减去 $8 x$ 。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x - 12 + 12}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

解题步骤 5.3.3.6.11

将 $- 12$ 和 $12$ 相加。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x + 0}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

解题步骤 5.3.3.6.12

将 $7 x$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

解题步骤 5.3.4

化简分母。

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解题步骤 5.3.4.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{2 (2) (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

解题步骤 5.3.4.1.2

约去公因数。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{2 \cdot (2 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)})) + 5}$

解题步骤 5.3.4.1.3

重写表达式。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{2 (\frac{5 x - 4}{3 - 2 x}) + 5}$

解题步骤 5.3.4.2

组合 $2$ 和 $\frac{5 x - 4}{3 - 2 x}$ 。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{2 (5 x - 4)}{3 - 2 x} + 5}$

解题步骤 5.3.4.3

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 - 2 x}{3 - 2 x}$ 。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{2 (5 x - 4)}{3 - 2 x} + \frac{5 (3 - 2 x)}{3 - 2 x}}$

解题步骤 5.3.4.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{2 (5 x - 4) + 5 (3 - 2 x)}{3 - 2 x}}$

解题步骤 5.3.4.5

以因式分解的形式重写 $\frac{2 (5 x - 4) + 5 (3 - 2 x)}{3 - 2 x}$ 。

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解题步骤 5.3.4.5.1

运用分配律。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{2 (5 x) + 2 \cdot - 4 + 5 (3 - 2 x)}{3 - 2 x}}$

解题步骤 5.3.4.5.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{10 x + 2 \cdot - 4 + 5 (3 - 2 x)}{3 - 2 x}}$

解题步骤 5.3.4.5.3

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{10 x - 8 + 5 (3 - 2 x)}{3 - 2 x}}$

解题步骤 5.3.4.5.4

运用分配律。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{10 x - 8 + 5 \cdot 3 + 5 (- 2 x)}{3 - 2 x}}$

解题步骤 5.3.4.5.5

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{10 x - 8 + 15 + 5 (- 2 x)}{3 - 2 x}}$

解题步骤 5.3.4.5.6

将 $- 2$ 乘以 $5$ 。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{10 x - 8 + 15 - 10 x}{3 - 2 x}}$

解题步骤 5.3.4.5.7

从 $10 x$ 中减去 $10 x$ 。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{0 - 8 + 15}{3 - 2 x}}$

解题步骤 5.3.4.5.8

从 $0$ 中减去 $8$ 。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{- 8 + 15}{3 - 2 x}}$

解题步骤 5.3.4.5.9

将 $- 8$ 和 $15$ 相加。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{7}{3 - 2 x}}$

解题步骤 5.3.5

组合 $2$ 和 $\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)}$ 。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 (3 - 2 x)}}{\frac{7}{3 - 2 x}}$

解题步骤 5.3.6

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{\frac{14 x}{2 (3 - 2 x)}}{\frac{7}{3 - 2 x}}$

解题步骤 5.3.7

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{14 x}{2 (3 - 2 x)}$ 。

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解题步骤 5.3.7.1

从 $14 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 (3 - 2 x)}}{\frac{7}{3 - 2 x}}$

解题步骤 5.3.7.2

约去公因数。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 (3 - 2 x)}}{\frac{7}{3 - 2 x}}$

解题步骤 5.3.7.3

重写表达式。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{\frac{7 x}{3 - 2 x}}{\frac{7}{3 - 2 x}}$

解题步骤 5.3.8

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{7 x}{3 - 2 x} \cdot \frac{3 - 2 x}{7}$

解题步骤 5.3.9

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.9.1

从 $7 x$ 中分解出因数 $7$ 。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{7 (x)}{3 - 2 x} \cdot \frac{3 - 2 x}{7}$

解题步骤 5.3.9.2

约去公因数。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{7 x}{3 - 2 x} \cdot \frac{3 - 2 x}{7}$

解题步骤 5.3.9.3

重写表达式。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{x}{3 - 2 x} \cdot (3 - 2 x)$

解题步骤 5.3.10

约去 $3 - 2 x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.10.1

约去公因数。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{x}{3 - 2 x} \cdot (3 - 2 x)$

解题步骤 5.3.10.2

重写表达式。

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}$ 为 $f (x) = \frac{6 x + 4}{4 x + 5}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}$

初级微积分 示例

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