初级微积分示例

$f (x) = \frac{3 x \sqrt{x}}{8}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{3 x \sqrt{x}}{8}$ 写为等式。

$y = \frac{3 x \sqrt{x}}{8}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{3 y \sqrt{y}}{8}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{3 y \sqrt{y}}{8} = x$ 。

$\frac{3 y \sqrt{y}}{8} = x$

解题步骤 3.2

等式两边同时乘以 $\frac{8}{3}$ 。

$\frac{8}{3} \cdot \frac{3 y \sqrt{y}}{8} = \frac{8}{3} x$

解题步骤 3.3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.3.1

化简左边。

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解题步骤 3.3.1.1

化简 $\frac{8}{3} \cdot \frac{3 y \sqrt{y}}{8}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1.1

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{8}{3} \cdot \frac{3 y \sqrt{y}}{8} = \frac{8}{3} x$

解题步骤 3.3.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{3} (3 y \sqrt{y}) = \frac{8}{3} x$

解题步骤 3.3.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1.2.1

从 $3 y \sqrt{y}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{3} (3 (y \sqrt{y})) = \frac{8}{3} x$

解题步骤 3.3.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{3} (3 (y \sqrt{y})) = \frac{8}{3} x$

解题步骤 3.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y \sqrt{y} = \frac{8}{3} x$

解题步骤 3.3.2

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.1

组合 $\frac{8}{3}$ 和 $x$ 。

$y \sqrt{y} = \frac{8 x}{3}$

解题步骤 3.4

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(y \sqrt{y})}^{2} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

解题步骤 3.5

化简方程的两边。

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解题步骤 3.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

${(y \cdot y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

解题步骤 3.5.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.1

化简 ${(y \cdot y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.2.1.1

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.5.2.1.1.1

将 $y$ 乘以 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.5.2.1.1.1.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

${(y^{1} y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

解题步骤 3.5.2.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(y^{1 + \frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

解题步骤 3.5.2.1.1.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

${(y^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

解题步骤 3.5.2.1.1.3

在公分母上合并分子。

${(y^{\frac{2 + 1}{2}})}^{2} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

解题步骤 3.5.2.1.1.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

${(y^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

解题步骤 3.5.2.1.2

将 ${(y^{\frac{3}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.5.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

解题步骤 3.5.2.1.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.2.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

解题步骤 3.5.2.1.2.2.2

重写表达式。

$y^{3} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

解题步骤 3.5.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.3.1

化简 ${(\frac{8 x}{3})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.3.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.5.3.1.1.1

对 $\frac{8 x}{3}$ 运用乘积法则。

$y^{3} = \frac{{(8 x)}^{2}}{3^{2}}$

解题步骤 3.5.3.1.1.2

对 $8 x$ 运用乘积法则。

$y^{3} = \frac{8^{2} x^{2}}{3^{2}}$

解题步骤 3.5.3.1.2

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$y^{3} = \frac{64 x^{2}}{3^{2}}$

解题步骤 3.5.3.1.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$y^{3} = \frac{64 x^{2}}{9}$

解题步骤 3.6

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{\frac{64 x^{2}}{9}}$

解题步骤 3.6.2

化简 $\sqrt[3]{\frac{64 x^{2}}{9}}$ 。

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解题步骤 3.6.2.1

将 $\sqrt[3]{\frac{64 x^{2}}{9}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{64 x^{2}}}{\sqrt[3]{9}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{64 x^{2}}}{\sqrt[3]{9}}$

解题步骤 3.6.2.2

化简分子。

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解题步骤 3.6.2.2.1

将 $64$ 重写为 $4^{3}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{4^{3} x^{2}}}{\sqrt[3]{9}}$

解题步骤 3.6.2.2.2

从根式下提出各项。

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{9}}$

解题步骤 3.6.2.3

将 $\frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{9}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ 。

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{9}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$

解题步骤 3.6.2.4

合并和化简分母。

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解题步骤 3.6.2.4.1

将 $\frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{9}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ 。

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{9}}^{2}}$

解题步骤 3.6.2.4.2

对 $\sqrt[3]{9}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1} {\sqrt[3]{9}}^{2}}$

解题步骤 3.6.2.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1 + 2}}$

解题步骤 3.6.2.4.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{3}}$

解题步骤 3.6.2.4.5

将 ${\sqrt[3]{9}}^{3}$ 重写为 $9$ 。

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解题步骤 3.6.2.4.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{9}$ 重写成 $9^{\frac{1}{3}}$ 。

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{{(9^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 3.6.2.4.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 3.6.2.4.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.6.2.4.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.2.4.5.4.1

约去公因数。

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.6.2.4.5.4.2

重写表达式。

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{1}}$

解题步骤 3.6.2.4.5.5

计算指数。

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9}$

解题步骤 3.6.2.5

化简分子。

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解题步骤 3.6.2.5.1

将 ${\sqrt[3]{9}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{9^{2}}$ 。

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{9^{2}}}{9}$

解题步骤 3.6.2.5.2

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{81}}{9}$

解题步骤 3.6.2.5.3

将 $81$ 重写为 $3^{3} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.6.2.5.3.1

从 $81$ 中分解出因数 $27$ 。

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{27 (3)}}{9}$

解题步骤 3.6.2.5.3.2

将 $27$ 重写为 $3^{3}$ 。

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{3^{3} \cdot 3}}{9}$

解题步骤 3.6.2.5.4

从根式下提出各项。

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot 3 \sqrt[3]{3}}{9}$

解题步骤 3.6.2.5.5

合并指数。

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解题步骤 3.6.2.5.5.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{12 \sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{3}}{9}$

解题步骤 3.6.2.5.5.2

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \frac{12 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{9}$

解题步骤 3.6.2.6

约去 $12$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.2.6.1

从 $12 \sqrt[3]{3 x^{2}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{3 (4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}{9}$

解题步骤 3.6.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 3.6.2.6.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{3 (4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}{3 (3)}$

解题步骤 3.6.2.6.2.2

约去公因数。

$y = \frac{3 (4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}{3 \cdot 3}$

解题步骤 3.6.2.6.2.3

重写表达式。

$y = \frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}$ 是否为 $f (x) = \frac{3 x \sqrt{x}}{8}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8})$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 {(\frac{3 x \sqrt{x}}{8})}^{2}}}{3}$

解题步骤 5.2.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1

对 $\frac{3 x \sqrt{x}}{8}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{{(3 x \sqrt{x})}^{2}}{8^{2}})}}{3}$

解题步骤 5.2.3.2

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.2.1

对 $3 x \sqrt{x}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{{(3 x)}^{2} {\sqrt{x}}^{2}}{8^{2}})}}{3}$

解题步骤 5.2.3.2.2

对 $3 x$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{3^{2} x^{2} {\sqrt{x}}^{2}}{8^{2}})}}{3}$

解题步骤 5.2.3.2.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{2} {\sqrt{x}}^{2}}{8^{2}})}}{3}$

解题步骤 5.2.3.2.4

将 ${\sqrt{x}}^{2}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 5.2.3.2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8^{2}})}}{3}$

解题步骤 5.2.3.2.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{2} x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{2}})}}{3}$

解题步骤 5.2.3.2.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{2} x^{\frac{2}{2}}}{8^{2}})}}{3}$

解题步骤 5.2.3.2.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.2.4.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{2} x^{\frac{2}{2}}}{8^{2}})}}{3}$

解题步骤 5.2.3.2.4.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{2} x}{8^{2}})}}{3}$

解题步骤 5.2.3.2.4.5

化简。

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{2} x}{8^{2}})}}{3}$

解题步骤 5.2.3.2.5

合并指数。

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解题步骤 5.2.3.2.5.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 (x \cdot x^{2})}{8^{2}})}}{3}$

解题步骤 5.2.3.2.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{1 + 2}}{8^{2}})}}{3}$

解题步骤 5.2.3.2.5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{3}}{8^{2}})}}{3}$

解题步骤 5.2.3.3

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{3}}{64})}}{3}$

解题步骤 5.2.3.4

组合 $3$ 和 $\frac{9 x^{3}}{64}$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3})}{64}}}{3}$

解题步骤 5.2.3.5

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{\frac{27 x^{3}}{64}}}{3}$

解题步骤 5.2.3.6

将 $27 x^{3}$ 重写为 ${(3 x)}^{3}$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{\frac{{(3 x)}^{3}}{64}}}{3}$

解题步骤 5.2.3.7

将 $64$ 重写为 $4^{3}$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{\frac{{(3 x)}^{3}}{4^{3}}}}{3}$

解题步骤 5.2.3.8

将 $\frac{{(3 x)}^{3}}{4^{3}}$ 重写为 ${(\frac{3 x}{4})}^{3}$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{{(\frac{3 x}{4})}^{3}}}{3}$

解题步骤 5.2.3.9

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 (\frac{3 x}{4})}{3}$

解题步骤 5.2.4

组合 $4$ 和 $\frac{3 x}{4}$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{\frac{4 (3 x)}{4}}{3}$

解题步骤 5.2.5

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{\frac{12 x}{4}}{3}$

解题步骤 5.2.6

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.2.6.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{12 x}{4}$ 。

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解题步骤 5.2.6.1.1

从 $12 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{\frac{4 (3 x)}{4}}{3}$

解题步骤 5.2.6.1.2

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{\frac{4 (3 x)}{4 (1)}}{3}$

解题步骤 5.2.6.1.3

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{\frac{4 (3 x)}{4 \cdot 1}}{3}$

解题步骤 5.2.6.1.4

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{\frac{3 x}{1}}{3}$

解题步骤 5.2.6.2

用 $3 x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{3 x}{3}$

解题步骤 5.2.7

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.7.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{3 x}{3}$

解题步骤 5.2.7.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})$ 。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{3 (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) \sqrt{\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}}}{8}$

解题步骤 5.3.3

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.1

组合 $3$ 和 $\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}$ 。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{3 (4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}{3} \cdot \sqrt{\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}}}{8}$

解题步骤 5.3.3.2

组合 $\frac{3 (4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}{3}$ 和 $\sqrt{\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}}$ 。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{3 (4 \sqrt[3]{3 x^{2}}) \sqrt{\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}}}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.4

化简分子。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[3]{3 x^{2}} \sqrt{\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}}}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.4.2

使用 $6$ 的最小常见指标重写表达式。

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解题步骤 5.3.4.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}}$ 重写成 ${(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 ({(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{3 x^{2}})}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.4.2.2

将 ${(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 ${(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{\frac{3}{6}}$ 。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 ({(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{\frac{3}{6}} \sqrt[3]{3 x^{2}})}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.4.2.3

将 ${(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{\frac{3}{6}}$ 重写为 $\sqrt[6]{{(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{3}}$ 。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 (\sqrt[6]{{(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{3}} \sqrt[3]{3 x^{2}})}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.4.2.4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{3 x^{2}}$ 重写成 ${(3 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 (\sqrt[6]{{(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{3}} {(3 x^{2})}^{\frac{1}{3}})}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.4.2.5

将 ${(3 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ 重写为 ${(3 x^{2})}^{\frac{2}{6}}$ 。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 (\sqrt[6]{{(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{3}} {(3 x^{2})}^{\frac{2}{6}})}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.4.2.6

将 ${(3 x^{2})}^{\frac{2}{6}}$ 重写为 $\sqrt[6]{{(3 x^{2})}^{2}}$ 。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 (\sqrt[6]{{(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{3}} \sqrt[6]{{(3 x^{2})}^{2}})}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.4.3

使用根数乘积法则进行合并。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{{(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{3} {(3 x^{2})}^{2}}}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.4.4

对 $\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{{(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3}}{3^{3}} \cdot {(3 x^{2})}^{2}}}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.4.5

对 $3 x^{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{{(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3}}{3^{3}} \cdot (3^{2} {(x^{2})}^{2})}}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.4.6

合并指数。

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解题步骤 5.3.4.6.1

组合 $\frac{{(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3}}{3^{3}}$ 和 $3^{2}$ 。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{{(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3} \cdot 3^{2}}{3^{3}} \cdot {(x^{2})}^{2}}}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.4.6.2

组合 $\frac{{(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3} \cdot 3^{2}}{3^{3}}$ 和 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{{(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3} \cdot (3^{2} {(x^{2})}^{2})}{3^{3}}}}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.4.7

约去 $3^{2}$ 和 $3^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.7.1

从 ${(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3} \cdot 3^{2} {(x^{2})}^{2}$ 中分解出因数 $3^{2}$ 。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{3^{2} ({(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3} {(x^{2})}^{2})}{3^{3}}}}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.4.7.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.4.7.2.1

从 $3^{3}$ 中分解出因数 $3^{2}$ 。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{3^{2} ({(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3} {(x^{2})}^{2})}{3^{2} \cdot 3}}}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.4.7.2.2

约去公因数。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{3^{2} ({(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3} {(x^{2})}^{2})}{3^{2} \cdot 3}}}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.4.7.2.3

重写表达式。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{{(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3} {(x^{2})}^{2}}{3}}}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.4.8

化简分子。

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解题步骤 5.3.4.8.1

对 $4 \sqrt[3]{3 x^{2}}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{4^{3} {\sqrt[3]{3 x^{2}}}^{3} {(x^{2})}^{2}}{3}}}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.4.8.2

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 {\sqrt[3]{3 x^{2}}}^{3} {(x^{2})}^{2}}{3}}}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.4.8.3

将 ${\sqrt[3]{3 x^{2}}}^{3}$ 重写为 $3 x^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.4.8.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{3 x^{2}}$ 重写成 ${(3 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 {({(3 x^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} {(x^{2})}^{2}}{3}}}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.4.8.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 {(3 x^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} {(x^{2})}^{2}}{3}}}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.4.8.3.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 {(3 x^{2})}^{\frac{3}{3}} {(x^{2})}^{2}}{3}}}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.4.8.3.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.8.3.4.1

约去公因数。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 {(3 x^{2})}^{\frac{3}{3}} {(x^{2})}^{2}}{3}}}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.4.8.3.4.2

重写表达式。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 (3 x^{2}) {(x^{2})}^{2}}{3}}}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.4.8.3.5

化简。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 (3 x^{2}) {(x^{2})}^{2}}{3}}}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.4.8.4

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.3.4.8.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 (3 x^{2}) x^{2 \cdot 2}}{3}}}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.4.8.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 (3 x^{2}) x^{4}}{3}}}{3}}{8}$

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 \cdot (3 x^{2} x^{4})}{3}}}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.4.8.5

合并指数。

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解题步骤 5.3.4.8.5.1

将 $64$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{192 x^{2} x^{4}}{3}}}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.4.8.5.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 5.3.4.8.5.2.1

移动 $x^{4}$ 。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{192 (x^{4} x^{2})}{3}}}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.4.8.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{192 x^{4 + 2}}{3}}}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.4.8.5.2.3

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{192 x^{6}}{3}}}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.4.9

约去 $192$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.9.1

从 $192 x^{6}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{3 (64 x^{6})}{3}}}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.4.9.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.4.9.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{3 (64 x^{6})}{3 (1)}}}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.4.9.2.2

约去公因数。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{3 (64 x^{6})}{3 \cdot 1}}}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.4.9.2.3

重写表达式。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 x^{6}}{1}}}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.4.9.2.4

用 $64 x^{6}$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{64 x^{6}}}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.5

化简分子。

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解题步骤 5.3.5.1

将 $64 x^{6}$ 重写为 ${(2 x)}^{6}$ 。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{{(2 x)}^{6}}}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.5.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \cdot (2 x)}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.5.3

将 $12$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{24 x}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.6

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.3.6.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{24 x}{3}$ 。

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解题步骤 5.3.6.1.1

从 $24 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{3}}{8}$

解题步骤 5.3.6.1.2

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{3 (1)}}{8}$

解题步骤 5.3.6.1.3

约去公因数。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{3 \cdot 1}}{8}$

解题步骤 5.3.6.1.4

重写表达式。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{8 x}{1}}{8}$

解题步骤 5.3.6.2

用 $8 x$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{8 x}{8}$

解题步骤 5.3.7

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.7.1

约去公因数。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{8 x}{8}$

解题步骤 5.3.7.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}$ 为 $f (x) = \frac{3 x \sqrt{x}}{8}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}$

初级微积分 示例

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