初级微积分示例

$f (x) = \log_{3} (x) - 1$

解题步骤 1

将 $f (x) = \log_{3} (x) - 1$ 写为等式。

$y = \log_{3} (x) - 1$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \log_{3} (y) - 1$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\log_{3} (y) - 1 = x$ 。

$\log_{3} (y) - 1 = x$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$\log_{3} (y) = x + 1$

解题步骤 3.3

使用对数的定义将 $\log_{3} (y) = x + 1$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$3^{x + 1} = y$

解题步骤 3.4

将方程重写为 $y = 3^{x + 1}$ 。

$y = 3^{x + 1}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = 3^{x + 1}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = 3^{x + 1}$ 是否为 $f (x) = \log_{3} (x) - 1$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\log_{3} (x) - 1)$ 。

$f^{- 1} (\log_{3} (x) - 1) = 3^{(\log_{3} (x) - 1) + 1}$

解题步骤 5.2.3

合并 $(\log_{3} (x) - 1) + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\log_{3} (x) - 1) = 3^{\log_{3} (x) + 0}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $\log_{3} (x)$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\log_{3} (x) - 1) = 3^{\log_{3} (x)}$

解题步骤 5.2.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$f^{- 1} (\log_{3} (x) - 1) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (3^{x + 1})$ 。

$f (3^{x + 1}) = \log_{3} (3^{x + 1}) - 1$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

使用对数规则把 $x + 1$ 移到指数外部。

$f (3^{x + 1}) = (x + 1) \log_{3} (3) - 1$

解题步骤 5.3.3.2

$3$ 的对数底 $3$ 的值为 $1$ 。

$f (3^{x + 1}) = (x + 1) \cdot 1 - 1$

解题步骤 5.3.3.3

将 $x + 1$ 乘以 $1$ 。

$f (3^{x + 1}) = x + 1 - 1$

解题步骤 5.3.4

合并 $x + 1 - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (3^{x + 1}) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (3^{x + 1}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = 3^{x + 1}$ 为 $f (x) = \log_{3} (x) - 1$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = 3^{x + 1}$

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