初级微积分示例

$f (x) = - 2 x^{2} + 3$

解题步骤 1

将 $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ 写为等式。

$y = - 2 x^{2} + 3$

解题步骤 2

交换变量。

$x = - 2 y^{2} + 3$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $- 2 y^{2} + 3 = x$ 。

$- 2 y^{2} + 3 = x$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$- 2 y^{2} = x - 3$

解题步骤 3.3

将 $- 2 y^{2} = x - 3$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $- 2 y^{2} = x - 3$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y^{2} = - \frac{x}{2} + \frac{- 3}{- 2}$

解题步骤 3.3.3.1.2

将两个负数相除得到一个正数。

$y^{2} = - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 3.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{2} + \frac{3}{2}}$

解题步骤 3.5

化简 $\pm \sqrt{- \frac{x}{2} + \frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 3.5.1

在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{\frac{- x + 3}{2}}$

解题步骤 3.5.2

将 $\sqrt{\frac{- x + 3}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{- x + 3}}{\sqrt{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 3.5.3

将 $\frac{\sqrt{- x + 3}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 3.5.4

合并和化简分母。

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解题步骤 3.5.4.1

将 $\frac{\sqrt{- x + 3}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.5.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.5.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 3.5.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.5.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 3.5.4.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.5.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.5.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.5.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.5.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.4.6.4.1

约去公因数。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.5.4.6.4.2

重写表达式。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 3.5.4.6.5

计算指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.5.5

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x + 3) \cdot 2}}{2}$

解题步骤 3.5.6

将 $\pm \frac{\sqrt{(- x + 3) \cdot 2}}{2}$ 中的因式重新排序。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

解题步骤 3.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

解题步骤 3.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

解题步骤 3.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$ 是否为 $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ 和 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 5.2

求 $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ 的值域。

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解题步骤 5.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$(- \infty, 3]$

解题步骤 5.3

求 $\frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$ 的定义域。

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解题步骤 5.3.1

将 $\sqrt{2 (- x + 3)}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$2 (- x + 3) \geq 0$

解题步骤 5.3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $2 (- x + 3) \geq 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.3.2.1.1

将 $2 (- x + 3) \geq 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 (- x + 3)}{2} \geq \frac{0}{2}$

解题步骤 5.3.2.1.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 (- x + 3)}{2} \geq \frac{0}{2}$

解题步骤 5.3.2.1.2.1.2

用 $- x + 3$ 除以 $1$ 。

$- x + 3 \geq \frac{0}{2}$

解题步骤 5.3.2.1.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.1.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$- x + 3 \geq 0$

解题步骤 5.3.2.2

从不等式两边同时减去 $3$ 。

$- x \geq - 3$

解题步骤 5.3.2.3

将 $- x \geq - 3$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.3.2.3.1

将 $- x \geq - 3$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.3.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \leq \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.3.3.1

用 $- 3$ 除以 $- 1$ 。

$x \leq 3$

解题步骤 5.3.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(- \infty, 3]$

解题步骤 5.4

求 $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ 的定义域。

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解题步骤 5.4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 5.5

由于 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$ 的定义域为 $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ 的值域，而 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$ 的值域又为 $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ 的定义域，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$ 为 $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

解题步骤 6

初级微积分 示例

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