初级微积分示例

$f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$

解题步骤 1

将 $f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$ 写为等式。

$y = 2 \sqrt{x} + 3$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 2 \sqrt{y} + 3$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $2 \sqrt{y} + 3 = x$ 。

$2 \sqrt{y} + 3 = x$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$2 \sqrt{y} = x - 3$

解题步骤 3.3

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(2 \sqrt{y})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

解题步骤 3.4

化简方程的两边。

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解题步骤 3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简 ${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

对 $2 y^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

$2^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.3

将 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.3.2.1

约去公因数。

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.3.2.2

重写表达式。

$4 y^{1} = {(x - 3)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.4

化简。

$4 y = {(x - 3)}^{2}$

解题步骤 3.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.3.1

化简 ${(x - 3)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.3.1.1

将 ${(x - 3)}^{2}$ 重写为 $(x - 3) (x - 3)$ 。

$4 y = (x - 3) (x - 3)$

解题步骤 3.4.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 3) (x - 3)$ 。

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解题步骤 3.4.3.1.2.1

运用分配律。

$4 y = x (x - 3) - 3 (x - 3)$

解题步骤 3.4.3.1.2.2

运用分配律。

$4 y = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)$

解题步骤 3.4.3.1.2.3

运用分配律。

$4 y = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

解题步骤 3.4.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.4.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.3.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$4 y = x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

解题步骤 3.4.3.1.3.1.2

将 $- 3$ 移到 $x$ 的左侧。

$4 y = x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3$

解题步骤 3.4.3.1.3.1.3

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$4 y = x^{2} - 3 x - 3 x + 9$

解题步骤 3.4.3.1.3.2

从 $- 3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$4 y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 3.5

将 $4 y = x^{2} - 6 x + 9$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 3.5.1

将 $4 y = x^{2} - 6 x + 9$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{9}{4}$

解题步骤 3.5.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{9}{4}$

解题步骤 3.5.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{9}{4}$

解题步骤 3.5.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.3.1.1

约去 $- 6$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.1.1.1

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{4} + \frac{9}{4}$

解题步骤 3.5.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.3.1.1.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (2)} + \frac{9}{4}$

解题步骤 3.5.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 2} + \frac{9}{4}$

解题步骤 3.5.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{9}{4}$

解题步骤 3.5.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$ 是否为 $f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3)$ 。

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2} + \frac{9}{4}$

解题步骤 5.2.3

要将 $- \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{4}$

解题步骤 5.2.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $\frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9}{4}$

解题步骤 5.2.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2}{4} + \frac{9}{4}$

解题步骤 5.2.5

化简项。

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解题步骤 5.2.5.1

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2}{4} + \frac{9}{4}$

解题步骤 5.2.5.2

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2 + 9}{4}$

解题步骤 5.2.5.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.5.3.1

运用分配律。

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} + (- 3 (2 \sqrt{x}) - 3 \cdot 3) \cdot 2 + 9}{4}$

解题步骤 5.2.5.3.2

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} + (- 6 \sqrt{x} - 3 \cdot 3) \cdot 2 + 9}{4}$

解题步骤 5.2.5.3.3

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} + (- 6 \sqrt{x} - 9) \cdot 2 + 9}{4}$

解题步骤 5.2.5.3.4

运用分配律。

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 6 \sqrt{x} \cdot 2 - 9 \cdot 2 + 9}{4}$

解题步骤 5.2.5.3.5

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 12 \sqrt{x} - 9 \cdot 2 + 9}{4}$

解题步骤 5.2.5.3.6

将 $- 9$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 12 \sqrt{x} - 18 + 9}{4}$

解题步骤 5.2.5.4

将 $- 18$ 和 $9$ 相加。

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 12 \sqrt{x} - 9}{4}$

解题步骤 5.2.6

化简分子。

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解题步骤 5.2.6.1

使 $u = \sqrt{x}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $\sqrt{x}$ 。

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解题步骤 5.2.6.1.1

从 $12 u$ 中减去 $12 u$ 。

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2} + 0 + 9 - 9}{4}$

解题步骤 5.2.6.1.2

将 $4 u^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2} + 9 - 9}{4}$

解题步骤 5.2.6.1.3

从 $9$ 中减去 $9$ 。

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2} + 0}{4}$

解题步骤 5.2.6.1.4

将 $4 u^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2}}{4}$

解题步骤 5.2.6.2

使用 $\sqrt{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 {\sqrt{x}}^{2}}{4}$

解题步骤 5.2.6.3

将 ${\sqrt{x}}^{2}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 5.2.6.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

解题步骤 5.2.6.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

解题步骤 5.2.6.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 5.2.6.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.6.3.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 5.2.6.3.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x}{4}$

解题步骤 5.2.6.3.5

化简。

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x}{4}$

解题步骤 5.2.7

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.7.1

约去公因数。

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x}{4}$

解题步骤 5.2.7.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4})$ 。

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

解题步骤 5.3.3

去掉圆括号。

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

解题步骤 5.3.4

化简每一项。

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解题步骤 5.3.4.1

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 5.3.4.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{2^{2}} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

解题步骤 5.3.4.1.2

将 $\frac{x^{2}}{2^{2}}$ 重写为 ${(\frac{x}{2})}^{2}$ 。

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

解题步骤 5.3.4.1.3

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{3^{2}}{4}} + 3$

解题步骤 5.3.4.1.4

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{3^{2}}{2^{2}}} + 3$

解题步骤 5.3.4.1.5

将 $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ 重写为 ${(\frac{3}{2})}^{2}$ 。

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + {(\frac{3}{2})}^{2}} + 3$

解题步骤 5.3.4.1.6

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$\frac{3 x}{2} = 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{2}$

解题步骤 5.3.4.1.7

重写多项式。

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{2} + {(\frac{3}{2})}^{2}} + 3$

解题步骤 5.3.4.1.8

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = \frac{x}{2}$ 和 $b = \frac{3}{2}$ 。

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2} - \frac{3}{2})}^{2}} + 3$

解题步骤 5.3.4.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x - 3}{2})}^{2}} + 3$

解题步骤 5.3.4.3

对 $\frac{x - 3}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{2^{2}}} + 3$

解题步骤 5.3.4.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{4}} + 3$

解题步骤 5.3.4.5

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{2^{2}}} + 3$

解题步骤 5.3.4.6

将 $\frac{{(x - 3)}^{2}}{2^{2}}$ 重写为 ${(\frac{x - 3}{2})}^{2}$ 。

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x - 3}{2})}^{2}} + 3$

解题步骤 5.3.4.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 (\frac{x - 3}{2}) + 3$

解题步骤 5.3.4.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.8.1

约去公因数。

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 (\frac{x - 3}{2}) + 3$

解题步骤 5.3.4.8.2

重写表达式。

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = x - 3 + 3$

解题步骤 5.3.5

合并 $x - 3 + 3$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.5.1

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = x + 0$

解题步骤 5.3.5.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$ 为 $f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$

初级微积分 示例

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