初级微积分示例

$f (x) = 2 x^{3} - 4$

解题步骤 1

将 $f (x) = 2 x^{3} - 4$ 写为等式。

$y = 2 x^{3} - 4$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 2 y^{3} - 4$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $2 y^{3} - 4 = x$ 。

$2 y^{3} - 4 = x$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$2 y^{3} = x + 4$

解题步骤 3.3

将 $2 y^{3} = x + 4$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $2 y^{3} = x + 4$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y^{3}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{4}{2}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y^{3}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{4}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用 $y^{3}$ 除以 $1$ 。

$y^{3} = \frac{x}{2} + \frac{4}{2}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

用 $4$ 除以 $2$ 。

$y^{3} = \frac{x}{2} + 2$

解题步骤 3.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{2} + 2}$

解题步骤 3.5

化简 $\sqrt[3]{\frac{x}{2} + 2}$ 。

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解题步骤 3.5.1

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 3.5.2

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 3.5.3

在公分母上合并分子。

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 2 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 3.5.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 4}{2}}$

解题步骤 3.5.5

将 $\sqrt[3]{\frac{x + 4}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{\sqrt[3]{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{\sqrt[3]{2}}$

解题步骤 3.5.6

将 $\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{\sqrt[3]{2}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

解题步骤 3.5.7

合并和化简分母。

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解题步骤 3.5.7.1

将 $\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{\sqrt[3]{2}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

解题步骤 3.5.7.2

对 $\sqrt[3]{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

解题步骤 3.5.7.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

解题步骤 3.5.7.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

解题步骤 3.5.7.5

将 ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.5.7.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{3}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 3.5.7.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 3.5.7.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.5.7.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.7.5.4.1

约去公因数。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.5.7.5.4.2

重写表达式。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

解题步骤 3.5.7.5.5

计算指数。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

解题步骤 3.5.8

化简分子。

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解题步骤 3.5.8.1

将 ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{2^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

解题步骤 3.5.8.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} \sqrt[3]{4}}{2}$

解题步骤 3.5.9

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 3.5.9.1

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \frac{\sqrt[3]{(x + 4) \cdot 4}}{2}$

解题步骤 3.5.9.2

将 $\frac{\sqrt[3]{(x + 4) \cdot 4}}{2}$ 中的因式重新排序。

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}$ 是否为 $f (x) = 2 x^{3} - 4$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (2 x^{3} - 4)$ 。

$f^{- 1} (2 x^{3} - 4) = \frac{\sqrt[3]{4 ((2 x^{3} - 4) + 4)}}{2}$

解题步骤 5.2.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$f^{- 1} (2 x^{3} - 4) = \frac{\sqrt[3]{4 (2 x^{3} + 0)}}{2}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $2 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (2 x^{3} - 4) = \frac{\sqrt[3]{4 \cdot (2 x^{3})}}{2}$

解题步骤 5.2.3.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} (2 x^{3} - 4) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

解题步骤 5.2.3.4

将 $8 x^{3}$ 重写为 ${(2 x)}^{3}$ 。

$f^{- 1} (2 x^{3} - 4) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

解题步骤 5.2.3.5

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} (2 x^{3} - 4) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 5.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (2 x^{3} - 4) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 5.2.4.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (2 x^{3} - 4) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2})$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 {(\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2})}^{3} - 4$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

对 $\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}^{3}}{2^{3}}) - 4$

解题步骤 5.3.3.2

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.2.1

将 ${\sqrt[3]{4 (x + 4)}}^{3}$ 重写为 $4 (x + 4)$ 。

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解题步骤 5.3.3.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{4 (x + 4)}$ 重写成 ${(4 (x + 4))}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{{({(4 (x + 4))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}}) - 4$

解题步骤 5.3.3.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{{(4 (x + 4))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}}) - 4$

解题步骤 5.3.3.2.1.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{{(4 (x + 4))}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 4$

解题步骤 5.3.3.2.1.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1.4.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{{(4 (x + 4))}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 4$

解题步骤 5.3.3.2.1.4.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 4)}{2^{3}}) - 4$

解题步骤 5.3.3.2.1.5

化简。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 4)}{2^{3}}) - 4$

解题步骤 5.3.3.2.2

运用分配律。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 x + 4 \cdot 4}{2^{3}}) - 4$

解题步骤 5.3.3.2.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 x + 16}{2^{3}}) - 4$

解题步骤 5.3.3.2.4

从 $4 x + 16$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 5.3.3.2.4.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x) + 16}{2^{3}}) - 4$

解题步骤 5.3.3.2.4.2

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 x + 4 \cdot 4}{2^{3}}) - 4$

解题步骤 5.3.3.2.4.3

从 $4 x + 4 \cdot 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 4)}{2^{3}}) - 4$

解题步骤 5.3.3.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 4)}{8}) - 4$

解题步骤 5.3.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 4)}{2 (4)}) - 4$

解题步骤 5.3.3.4.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 4)}{2 \cdot 4}) - 4$

解题步骤 5.3.3.4.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = \frac{4 (x + 4)}{4} - 4$

解题步骤 5.3.3.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.5.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = \frac{4 (x + 4)}{4} - 4$

解题步骤 5.3.3.5.2

用 $x + 4$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = x + 4 - 4$

解题步骤 5.3.4

合并 $x + 4 - 4$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}$ 为 $f (x) = 2 x^{3} - 4$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}$

初级微积分 示例

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