初级微积分示例

$f (x) = 4 x - \frac{1}{3}$

解题步骤 1

将 $f (x) = 4 x - \frac{1}{3}$ 写为等式。

$y = 4 x - \frac{1}{3}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 4 y - \frac{1}{3}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $4 y - \frac{1}{3} = x$ 。

$4 y - \frac{1}{3} = x$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上 $\frac{1}{3}$ 。

$4 y = x + \frac{1}{3}$

解题步骤 3.3

将 $4 y = x + \frac{1}{3}$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $4 y = x + \frac{1}{3}$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 y}{4} = \frac{x}{4} + \frac{\frac{1}{3}}{4}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 y}{4} = \frac{x}{4} + \frac{\frac{1}{3}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x}{4} + \frac{\frac{1}{3}}{4}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.3.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{x}{4} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 3.3.3.1.2

乘以 $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.2.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$y = \frac{x}{4} + \frac{1}{3 \cdot 4}$

解题步骤 3.3.3.1.2.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{x}{4} + \frac{1}{12}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{4} + \frac{1}{12}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{x}{4} + \frac{1}{12}$ 是否为 $f (x) = 4 x - \frac{1}{3}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (4 x - \frac{1}{3})$ 。

$f^{- 1} (4 x - \frac{1}{3}) = \frac{4 x - \frac{1}{3}}{4} + \frac{1}{12}$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1.1

要将 $4 x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f^{- 1} (4 x - \frac{1}{3}) = \frac{4 x \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}}{4} + \frac{1}{12}$

解题步骤 5.2.3.1.2

组合 $4 x$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f^{- 1} (4 x - \frac{1}{3}) = \frac{\frac{4 x \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}}{4} + \frac{1}{12}$

解题步骤 5.2.3.1.3

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (4 x - \frac{1}{3}) = \frac{\frac{4 x \cdot 3 - 1}{3}}{4} + \frac{1}{12}$

解题步骤 5.2.3.1.4

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f^{- 1} (4 x - \frac{1}{3}) = \frac{\frac{12 x - 1}{3}}{4} + \frac{1}{12}$

解题步骤 5.2.3.2

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} (4 x - \frac{1}{3}) = \frac{12 x - 1}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{12}$

解题步骤 5.2.3.3

乘以 $\frac{12 x - 1}{3} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 5.2.3.3.1

将 $\frac{12 x - 1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$f^{- 1} (4 x - \frac{1}{3}) = \frac{12 x - 1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12}$

解题步骤 5.2.3.3.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f^{- 1} (4 x - \frac{1}{3}) = \frac{12 x - 1}{12} + \frac{1}{12}$

解题步骤 5.2.4

化简项。

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解题步骤 5.2.4.1

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (4 x - \frac{1}{3}) = \frac{12 x - 1 + 1}{12}$

解题步骤 5.2.4.2

合并 $12 x - 1 + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.2.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (4 x - \frac{1}{3}) = \frac{12 x + 0}{12}$

解题步骤 5.2.4.2.2

将 $12 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (4 x - \frac{1}{3}) = \frac{12 x}{12}$

解题步骤 5.2.4.3

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.3.1

约去公因数。

$f^{- 1} (4 x - \frac{1}{3}) = \frac{12 x}{12}$

解题步骤 5.2.4.3.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (4 x - \frac{1}{3}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{x}{4} + \frac{1}{12})$ 。

$f (\frac{x}{4} + \frac{1}{12}) = 4 (\frac{x}{4} + \frac{1}{12}) - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

运用分配律。

$f (\frac{x}{4} + \frac{1}{12}) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 (\frac{1}{12}) - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.3.3.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1

约去公因数。

$f (\frac{x}{4} + \frac{1}{12}) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 (\frac{1}{12}) - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.3.3.2.2

重写表达式。

$f (\frac{x}{4} + \frac{1}{12}) = x + 4 (\frac{1}{12}) - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.3.3.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.3.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{x}{4} + \frac{1}{12}) = x + 4 (\frac{1}{4 (3)}) - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.3.3.3.2

约去公因数。

$f (\frac{x}{4} + \frac{1}{12}) = x + 4 (\frac{1}{4 \cdot 3}) - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.3.3.3.3

重写表达式。

$f (\frac{x}{4} + \frac{1}{12}) = x + \frac{1}{3} - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.3.4

合并 $x + \frac{1}{3} - \frac{1}{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{x}{4} + \frac{1}{12}) = x + \frac{1 - 1}{3}$

解题步骤 5.3.4.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (\frac{x}{4} + \frac{1}{12}) = x + \frac{0}{3}$

解题步骤 5.3.4.3

用 $0$ 除以 $3$ 。

$f (\frac{x}{4} + \frac{1}{12}) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.4

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{x}{4} + \frac{1}{12}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{x}{4} + \frac{1}{12}$ 为 $f (x) = 4 x - \frac{1}{3}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{4} + \frac{1}{12}$

初级微积分 示例

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