初级微积分示例

$f (x) = 4 + \sqrt[3]{x}$

解题步骤 1

将 $f (x) = 4 + \sqrt[3]{x}$ 写为等式。

$y = 4 + \sqrt[3]{x}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 4 + \sqrt[3]{y}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $4 + \sqrt[3]{y} = x$ 。

$4 + \sqrt[3]{y} = x$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$\sqrt[3]{y} = x - 4$

解题步骤 3.3

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${\sqrt[3]{y}}^{3} = {(x - 4)}^{3}$

解题步骤 3.4

化简方程的两边。

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解题步骤 3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{3}}$ 。

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 4)}^{3}$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简 ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

将 ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 4)}^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 4)}^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{1} = {(x - 4)}^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.2

化简。

$y = {(x - 4)}^{3}$

解题步骤 3.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.3.1

化简 ${(x - 4)}^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.3.1.1

使用二项式定理。

$y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 4 + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.4.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2.2

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 3 x \cdot 16 + {(- 4)}^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2.3

将 $16$ 乘以 $3$ 。

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + {(- 4)}^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2.4

对 $- 4$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ 是否为 $f (x) = 4 + \sqrt[3]{x}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x})$ 。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = {(4 + \sqrt[3]{x})}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

使用二项式定理。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 4^{3} + 3 \cdot (4^{2} \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot (4 {\sqrt[3]{x}}^{2}) + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

解题步骤 5.2.3.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.2.1

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 3 \cdot (4^{2} \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot (4 {\sqrt[3]{x}}^{2}) + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

解题步骤 5.2.3.2.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 3 \cdot (16 \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot (4 {\sqrt[3]{x}}^{2}) + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

解题步骤 5.2.3.2.3

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 3 \cdot (4 {\sqrt[3]{x}}^{2}) + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

解题步骤 5.2.3.2.4

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 {\sqrt[3]{x}}^{2} + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

解题步骤 5.2.3.2.5

将 ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

解题步骤 5.2.3.2.6

将 ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 5.2.3.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

解题步骤 5.2.3.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

解题步骤 5.2.3.2.6.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{3}{3}} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

解题步骤 5.2.3.2.6.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.2.6.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{3}{3}} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

解题步骤 5.2.3.2.6.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

解题步骤 5.2.3.2.6.5

化简。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

解题步骤 5.2.3.3

将 ${(4 + \sqrt[3]{x})}^{2}$ 重写为 $(4 + \sqrt[3]{x}) (4 + \sqrt[3]{x})$ 。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 ((4 + \sqrt[3]{x}) (4 + \sqrt[3]{x})) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

解题步骤 5.2.3.4

使用 FOIL 方法展开 $(4 + \sqrt[3]{x}) (4 + \sqrt[3]{x})$ 。

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解题步骤 5.2.3.4.1

运用分配律。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (4 (4 + \sqrt[3]{x}) + \sqrt[3]{x} (4 + \sqrt[3]{x})) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

解题步骤 5.2.3.4.2

运用分配律。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (4 \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} (4 + \sqrt[3]{x})) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

解题步骤 5.2.3.4.3

运用分配律。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (4 \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

解题步骤 5.2.3.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.3.5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.5.1.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (16 + 4 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

解题步骤 5.2.3.5.1.2

将 $4$ 移到 $\sqrt[3]{x}$ 的左侧。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (16 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

解题步骤 5.2.3.5.1.3

乘以 $\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}$ 。

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解题步骤 5.2.3.5.1.3.1

对 $\sqrt[3]{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (16 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

解题步骤 5.2.3.5.1.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (16 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{x} + {\sqrt[3]{x}}^{1 + 1}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

解题步骤 5.2.3.5.1.3.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (16 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{x} + {\sqrt[3]{x}}^{2}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

解题步骤 5.2.3.5.1.4

将 ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (16 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^{2}}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

解题步骤 5.2.3.5.2

将 $4 \sqrt[3]{x}$ 和 $4 \sqrt[3]{x}$ 相加。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (16 + 8 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^{2}}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

解题步骤 5.2.3.6

运用分配律。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 \cdot 16 - 12 (8 \sqrt[3]{x}) - 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

解题步骤 5.2.3.7

化简。

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解题步骤 5.2.3.7.1

将 $- 12$ 乘以 $16$ 。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 192 - 12 (8 \sqrt[3]{x}) - 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

解题步骤 5.2.3.7.2

将 $8$ 乘以 $- 12$ 。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 192 - 96 \sqrt[3]{x} - 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

解题步骤 5.2.3.8

运用分配律。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 192 - 96 \sqrt[3]{x} - 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \cdot 4 + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

解题步骤 5.2.3.9

将 $48$ 乘以 $4$ 。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 192 - 96 \sqrt[3]{x} - 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

解题步骤 5.2.4

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 5.2.4.1

合并 $64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 192 - 96 \sqrt[3]{x} - 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 + 48 \sqrt[3]{x} - 64$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1.1

从 $12 \sqrt[3]{x^{2}}$ 中减去 $12 \sqrt[3]{x^{2}}$ 。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 0 + x - 192 - 96 \sqrt[3]{x} + 192 + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

解题步骤 5.2.4.1.2

将 $64 + 48 \sqrt[3]{x}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + x - 192 - 96 \sqrt[3]{x} + 192 + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

解题步骤 5.2.4.1.3

将 $- 192$ 和 $192$ 相加。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + x + 0 - 96 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

解题步骤 5.2.4.1.4

将 $64 + 48 \sqrt[3]{x} + x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + x - 96 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

解题步骤 5.2.4.1.5

从 $64$ 中减去 $64$ 。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 0 + 48 \sqrt[3]{x} + x - 96 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$

解题步骤 5.2.4.1.6

将 $0$ 和 $48 \sqrt[3]{x}$ 相加。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 48 \sqrt[3]{x} + x - 96 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$

解题步骤 5.2.4.2

从 $48 \sqrt[3]{x}$ 中减去 $96 \sqrt[3]{x}$ 。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = x - 48 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$

解题步骤 5.2.4.3

合并 $x - 48 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.3.1

将 $- 48 \sqrt[3]{x}$ 和 $48 \sqrt[3]{x}$ 相加。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = x + 0$

解题步骤 5.2.4.3.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64)$ 。

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = 4 + \sqrt[3]{x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64}$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

使每一项与二项式定理公式中的项相匹配。

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = 4 + \sqrt[3]{x^{3} - 3 \cdot (4 x^{2}) + 3 \cdot (4^{2} x) - 1 \cdot 4^{3}}$

解题步骤 5.3.3.2

使用二项式定理来对 $x^{3} - 3 \cdot 4 x^{2} + 3 \cdot 4^{2} x - 1 \cdot 4^{3}$ 进行因式分解。

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = 4 + \sqrt[3]{{(x - 4)}^{3}}$

解题步骤 5.3.3.3

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = 4 + x - 4$

解题步骤 5.3.4

合并 $4 + x - 4$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ 为 $f (x) = 4 + \sqrt[3]{x}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$

初级微积分 示例

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