初级微积分示例

$f (x) = - 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}$

解题步骤 1

将 $f (x) = - 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}$ 写为等式。

$y = - 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = - 4 + 6 \sqrt{7 y + 4}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $- 4 + 6 \sqrt{7 y + 4} = x$ 。

$- 4 + 6 \sqrt{7 y + 4} = x$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$6 \sqrt{7 y + 4} = x + 4$

解题步骤 3.3

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(6 \sqrt{7 y + 4})}^{2} = {(x + 4)}^{2}$

解题步骤 3.4

化简方程的两边。

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解题步骤 3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7 y + 4}$ 重写成 ${(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(6 {(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 4)}^{2}$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简 ${(6 {(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

对 $6 {(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

$6^{2} {({(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 4)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.2

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$36 {({(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 4)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.3

将 ${({(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$36 {(7 y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 4)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.3.2.1

约去公因数。

$36 {(7 y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 4)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.3.2.2

重写表达式。

$36 {(7 y + 4)}^{1} = {(x + 4)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.4

化简。

$36 (7 y + 4) = {(x + 4)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.5

运用分配律。

$36 (7 y) + 36 \cdot 4 = {(x + 4)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.6

乘。

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解题步骤 3.4.2.1.6.1

将 $7$ 乘以 $36$ 。

$252 y + 36 \cdot 4 = {(x + 4)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.6.2

将 $36$ 乘以 $4$ 。

$252 y + 144 = {(x + 4)}^{2}$

解题步骤 3.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.3.1

化简 ${(x + 4)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.3.1.1

将 ${(x + 4)}^{2}$ 重写为 $(x + 4) (x + 4)$ 。

$252 y + 144 = (x + 4) (x + 4)$

解题步骤 3.4.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 4) (x + 4)$ 。

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解题步骤 3.4.3.1.2.1

运用分配律。

$252 y + 144 = x (x + 4) + 4 (x + 4)$

解题步骤 3.4.3.1.2.2

运用分配律。

$252 y + 144 = x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)$

解题步骤 3.4.3.1.2.3

运用分配律。

$252 y + 144 = x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4$

解题步骤 3.4.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.4.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.3.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$252 y + 144 = x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4$

解题步骤 3.4.3.1.3.1.2

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$252 y + 144 = x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4$

解题步骤 3.4.3.1.3.1.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$252 y + 144 = x^{2} + 4 x + 4 x + 16$

解题步骤 3.4.3.1.3.2

将 $4 x$ 和 $4 x$ 相加。

$252 y + 144 = x^{2} + 8 x + 16$

解题步骤 3.5

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.1

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.5.1.1

从等式两边同时减去 $144$ 。

$252 y = x^{2} + 8 x + 16 - 144$

解题步骤 3.5.1.2

从 $16$ 中减去 $144$ 。

$252 y = x^{2} + 8 x - 128$

解题步骤 3.5.2

将 $252 y = x^{2} + 8 x - 128$ 中的每一项除以 $252$ 并化简。

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解题步骤 3.5.2.1

将 $252 y = x^{2} + 8 x - 128$ 中的每一项都除以 $252$ 。

$\frac{252 y}{252} = \frac{x^{2}}{252} + \frac{8 x}{252} + \frac{- 128}{252}$

解题步骤 3.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.2.1

约去 $252$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{252 y}{252} = \frac{x^{2}}{252} + \frac{8 x}{252} + \frac{- 128}{252}$

解题步骤 3.5.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{8 x}{252} + \frac{- 128}{252}$

解题步骤 3.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.2.3.1.1

约去 $8$ 和 $252$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.3.1.1.1

从 $8 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{4 (2 x)}{252} + \frac{- 128}{252}$

解题步骤 3.5.2.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.2.3.1.1.2.1

从 $252$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{4 (2 x)}{4 (63)} + \frac{- 128}{252}$

解题步骤 3.5.2.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{4 (2 x)}{4 \cdot 63} + \frac{- 128}{252}$

解题步骤 3.5.2.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} + \frac{- 128}{252}$

解题步骤 3.5.2.3.1.2

约去 $- 128$ 和 $252$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.3.1.2.1

从 $- 128$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} + \frac{4 (- 32)}{252}$

解题步骤 3.5.2.3.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.2.3.1.2.2.1

从 $252$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} + \frac{4 \cdot - 32}{4 \cdot 63}$

解题步骤 3.5.2.3.1.2.2.2

约去公因数。

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} + \frac{4 \cdot - 32}{4 \cdot 63}$

解题步骤 3.5.2.3.1.2.2.3

重写表达式。

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} + \frac{- 32}{63}$

解题步骤 3.5.2.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}$ 是否为 $f (x) = - 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4})$ 。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{252} + \frac{2 (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4})}{63} - \frac{32}{63}$

解题步骤 5.2.3

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{252} + \frac{2 (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) - 32}{63}$

解题步骤 5.2.4

化简每一项。

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解题步骤 5.2.4.1

运用分配律。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{252} + \frac{2 \cdot - 4 + 2 (6 \sqrt{7 x + 4}) - 32}{63}$

解题步骤 5.2.4.2

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{252} + \frac{- 8 + 2 (6 \sqrt{7 x + 4}) - 32}{63}$

解题步骤 5.2.4.3

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{252} + \frac{- 8 + 12 \sqrt{7 x + 4} - 32}{63}$

解题步骤 5.2.5

从 $- 8$ 中减去 $32$ 。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{252} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.6

化简每一项。

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解题步骤 5.2.6.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.6.1.1

从 $- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.2.6.1.1.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(2 (- 2) + 6 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{252} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.6.1.1.2

从 $6 \sqrt{7 x + 4}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(2 (- 2) + 2 (3 \sqrt{7 x + 4}))}^{2}}{252} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.6.1.1.3

从 $2 (- 2) + 2 (3 \sqrt{7 x + 4})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(2 (- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4}))}^{2}}{252} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.6.1.2

对 $2 (- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{2^{2} {(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{252} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.6.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 {(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{252} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.6.2

约去 $4$ 和 $252$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.6.2.1

从 $4 {(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 ({(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}^{2})}{252} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.6.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.6.2.2.1

从 $252$ 中分解出因数 $4$ 。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 {(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{4 \cdot 63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.6.2.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 {(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{4 \cdot 63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.6.2.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.6.3

将 ${(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}^{2}$ 重写为 $(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4}) (- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})$ 。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4}) (- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.6.4

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4}) (- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})$ 。

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解题步骤 5.2.6.4.1

运用分配律。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{- 2 (- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4}) + 3 \sqrt{7 x + 4} (- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.6.4.2

运用分配律。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{- 2 \cdot - 2 - 2 (3 \sqrt{7 x + 4}) + 3 \sqrt{7 x + 4} (- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.6.4.3

运用分配律。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{- 2 \cdot - 2 - 2 (3 \sqrt{7 x + 4}) + 3 \sqrt{7 x + 4} \cdot - 2 + 3 \sqrt{7 x + 4} (3 \sqrt{7 x + 4})}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.6.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.6.5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.6.5.1.1

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 2 (3 \sqrt{7 x + 4}) + 3 \sqrt{7 x + 4} \cdot - 2 + 3 \sqrt{7 x + 4} (3 \sqrt{7 x + 4})}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.6.5.1.2

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} + 3 \sqrt{7 x + 4} \cdot - 2 + 3 \sqrt{7 x + 4} (3 \sqrt{7 x + 4})}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.6.5.1.3

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 3 \sqrt{7 x + 4} (3 \sqrt{7 x + 4})}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.6.5.1.4

乘以 $3 \sqrt{7 x + 4} (3 \sqrt{7 x + 4})$ 。

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解题步骤 5.2.6.5.1.4.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 \sqrt{7 x + 4} \sqrt{7 x + 4}}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.6.5.1.4.2

对 $\sqrt{7 x + 4}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 (\sqrt{7 x + 4} \sqrt{7 x + 4})}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.6.5.1.4.3

对 $\sqrt{7 x + 4}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 (\sqrt{7 x + 4} \sqrt{7 x + 4})}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.6.5.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 {\sqrt{7 x + 4}}^{1 + 1}}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.6.5.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 {\sqrt{7 x + 4}}^{2}}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.6.5.1.5

将 ${\sqrt{7 x + 4}}^{2}$ 重写为 $7 x + 4$ 。

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解题步骤 5.2.6.5.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7 x + 4}$ 重写成 ${(7 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 {({(7 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.6.5.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 {(7 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.6.5.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 {(7 x + 4)}^{\frac{2}{2}}}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.6.5.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.6.5.1.5.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 {(7 x + 4)}^{\frac{2}{2}}}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.6.5.1.5.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 (7 x + 4)}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.6.5.1.5.5

化简。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 (7 x + 4)}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.6.5.1.6

运用分配律。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 (7 x) + 9 \cdot 4}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.6.5.1.7

将 $7$ 乘以 $9$ 。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 63 x + 9 \cdot 4}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.6.5.1.8

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 63 x + 36}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.6.5.2

将 $4$ 和 $36$ 相加。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{40 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 63 x}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.6.5.3

从 $- 6 \sqrt{7 x + 4}$ 中减去 $6 \sqrt{7 x + 4}$ 。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{40 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.6.6

从 $- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 5.2.6.6.1

从 $- 40$ 中分解出因数 $4$ 。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{40 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x}{63} + \frac{4 (- 10) + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.6.6.2

从 $12 \sqrt{7 x + 4}$ 中分解出因数 $4$ 。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{40 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x}{63} + \frac{4 (- 10) + 4 (3 \sqrt{7 x + 4})}{63}$

解题步骤 5.2.6.6.3

从 $4 (- 10) + 4 (3 \sqrt{7 x + 4})$ 中分解出因数 $4$ 。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{40 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x}{63} + \frac{4 (- 10 + 3 \sqrt{7 x + 4})}{63}$

解题步骤 5.2.7

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{40 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x + 4 (- 10 + 3 \sqrt{7 x + 4})}{63}$

解题步骤 5.2.8

化简每一项。

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解题步骤 5.2.8.1

运用分配律。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{40 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x + 4 \cdot - 10 + 4 (3 \sqrt{7 x + 4})}{63}$

解题步骤 5.2.8.2

将 $4$ 乘以 $- 10$ 。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{40 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x - 40 + 4 (3 \sqrt{7 x + 4})}{63}$

解题步骤 5.2.8.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{40 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x - 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.9

化简项。

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解题步骤 5.2.9.1

合并 $40 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x - 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.9.1.1

从 $40$ 中减去 $40$ 。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{0 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.9.1.2

从 $0$ 中减去 $12 \sqrt{7 x + 4}$ 。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{- 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

解题步骤 5.2.9.1.3

将 $- 12 \sqrt{7 x + 4}$ 和 $12 \sqrt{7 x + 4}$ 相加。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{63 x + 0}{63}$

解题步骤 5.2.9.1.4

将 $63 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{63 x}{63}$

解题步骤 5.2.9.2

约去 $63$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.9.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{63 x}{63}$

解题步骤 5.2.9.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63})$ 。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{7 (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) + 4}$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

运用分配律。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{7 (\frac{x^{2}}{252}) + 7 (\frac{2 x}{63}) + 7 (- \frac{32}{63}) + 4}$

解题步骤 5.3.3.2

化简。

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解题步骤 5.3.3.2.1

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1.1

从 $252$ 中分解出因数 $7$ 。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{7 (\frac{x^{2}}{7 (36)}) + 7 (\frac{2 x}{63}) + 7 (- \frac{32}{63}) + 4}$

解题步骤 5.3.3.2.1.2

约去公因数。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{7 (\frac{x^{2}}{7 \cdot 36}) + 7 (\frac{2 x}{63}) + 7 (- \frac{32}{63}) + 4}$

解题步骤 5.3.3.2.1.3

重写表达式。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + 7 (\frac{2 x}{63}) + 7 (- \frac{32}{63}) + 4}$

解题步骤 5.3.3.2.2

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.2.1

从 $63$ 中分解出因数 $7$ 。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + 7 (\frac{2 x}{7 (9)}) + 7 (- \frac{32}{63}) + 4}$

解题步骤 5.3.3.2.2.2

约去公因数。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + 7 (\frac{2 x}{7 \cdot 9}) + 7 (- \frac{32}{63}) + 4}$

解题步骤 5.3.3.2.2.3

重写表达式。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} + 7 (- \frac{32}{63}) + 4}$

解题步骤 5.3.3.2.3

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.3.1

将 $- \frac{32}{63}$ 中前置负号移到分子中。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} + 7 (\frac{- 32}{63}) + 4}$

解题步骤 5.3.3.2.3.2

从 $63$ 中分解出因数 $7$ 。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} + 7 (\frac{- 32}{7 (9)}) + 4}$

解题步骤 5.3.3.2.3.3

约去公因数。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} + 7 (\frac{- 32}{7 \cdot 9}) + 4}$

解题步骤 5.3.3.2.3.4

重写表达式。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} + \frac{- 32}{9} + 4}$

解题步骤 5.3.3.3

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} - \frac{32}{9} + 4}$

解题步骤 5.3.3.4

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} - \frac{32}{9} + 4 \cdot \frac{9}{9}}$

解题步骤 5.3.3.5

组合 $4$ 和 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} - \frac{32}{9} + \frac{4 \cdot 9}{9}}$

解题步骤 5.3.3.6

在公分母上合并分子。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} + \frac{- 32 + 4 \cdot 9}{9}}$

解题步骤 5.3.3.7

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.7.1

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} + \frac{- 32 + 36}{9}}$

解题步骤 5.3.3.7.2

将 $- 32$ 和 $36$ 相加。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} + \frac{4}{9}}$

解题步骤 5.3.3.8

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 5.3.3.8.1

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{6^{2}} + \frac{2 x}{9} + \frac{4}{9}}$

解题步骤 5.3.3.8.2

将 $\frac{x^{2}}{6^{2}}$ 重写为 ${(\frac{x}{6})}^{2}$ 。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x}{6})}^{2} + \frac{2 x}{9} + \frac{4}{9}}$

解题步骤 5.3.3.8.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x}{6})}^{2} + \frac{2 x}{9} + \frac{2^{2}}{9}}$

解题步骤 5.3.3.8.4

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x}{6})}^{2} + \frac{2 x}{9} + \frac{2^{2}}{3^{2}}}$

解题步骤 5.3.3.8.5

将 $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ 重写为 ${(\frac{2}{3})}^{2}$ 。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x}{6})}^{2} + \frac{2 x}{9} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

解题步骤 5.3.3.8.6

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$\frac{2 x}{9} = 2 \cdot \frac{x}{6} \cdot \frac{2}{3}$

解题步骤 5.3.3.8.7

重写多项式。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x}{6})}^{2} + 2 \cdot \frac{x}{6} \cdot \frac{2}{3} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

解题步骤 5.3.3.8.8

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = \frac{x}{6}$ 和 $b = \frac{2}{3}$ 。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x}{6} + \frac{2}{3})}^{2}}$

解题步骤 5.3.3.9

要将 $\frac{2}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x}{6} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3.3.10

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 5.3.3.10.1

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x}{6} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2})}^{2}}$

解题步骤 5.3.3.10.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x}{6} + \frac{2 \cdot 2}{6})}^{2}}$

解题步骤 5.3.3.11

在公分母上合并分子。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x + 2 \cdot 2}{6})}^{2}}$

解题步骤 5.3.3.12

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x + 4}{6})}^{2}}$

解题步骤 5.3.3.13

对 $\frac{x + 4}{6}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{{(x + 4)}^{2}}{6^{2}}}$

解题步骤 5.3.3.14

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{{(x + 4)}^{2}}{36}}$

解题步骤 5.3.3.15

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{{(x + 4)}^{2}}{6^{2}}}$

解题步骤 5.3.3.16

将 $\frac{{(x + 4)}^{2}}{6^{2}}$ 重写为 ${(\frac{x + 4}{6})}^{2}$ 。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x + 4}{6})}^{2}}$

解题步骤 5.3.3.17

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 (\frac{x + 4}{6})$

解题步骤 5.3.3.18

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.18.1

约去公因数。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 (\frac{x + 4}{6})$

解题步骤 5.3.3.18.2

重写表达式。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + x + 4$

解题步骤 5.3.4

合并 $- 4 + x + 4$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}$ 为 $f (x) = - 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}$

初级微积分 示例

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