初级微积分示例

$f (x) = \ln (\ln (x))$

解题步骤 1

将 $f (x) = \ln (\ln (x))$ 写为等式。

$y = \ln (\ln (x))$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \ln (\ln (y))$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\ln (\ln (y)) = x$ 。

$\ln (\ln (y)) = x$

解题步骤 3.2

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\ln (y))} = e^{x}$

解题步骤 3.3

使用对数的定义将 $\ln (\ln (y)) = x$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{x} = \ln (y)$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $\ln (y) = e^{x}$ 。

$\ln (y) = e^{x}$

解题步骤 3.4.2

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (y)} = e^{e^{x}}$

解题步骤 3.4.3

使用对数的定义将 $\ln (y) = e^{x}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{e^{x}} = y$

解题步骤 3.4.4

将方程重写为 $y = e^{e^{x}}$ 。

$y = e^{e^{x}}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = e^{e^{x}}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = e^{e^{x}}$ 是否为 $f (x) = \ln (\ln (x))$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\ln (\ln (x)))$ 。

$f^{- 1} (\ln (\ln (x))) = e^{e^{\ln (\ln (x))}}$

解题步骤 5.2.3

指数函数和对数函数互为反函数。

$f^{- 1} (\ln (\ln (x))) = e^{\ln (x)}$

解题步骤 5.2.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$f^{- 1} (\ln (\ln (x))) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (e^{e^{x}})$ 。

$f (e^{e^{x}}) = \ln (\ln (e^{e^{x}}))$

解题步骤 5.3.3

使用对数规则把 $e^{x}$ 移到指数外部。

$f (e^{e^{x}}) = \ln (e^{x} \ln (e))$

解题步骤 5.3.4

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f (e^{e^{x}}) = \ln (e^{x} \cdot 1)$

解题步骤 5.3.5

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$f (e^{e^{x}}) = \ln (e^{x})$

解题步骤 5.3.6

使用对数规则把 $x$ 移到指数外部。

$f (e^{e^{x}}) = x \ln (e)$

解题步骤 5.3.7

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f (e^{e^{x}}) = x \cdot 1$

解题步骤 5.3.8

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (e^{e^{x}}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = e^{e^{x}}$ 为 $f (x) = \ln (\ln (x))$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = e^{e^{x}}$

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