初级微积分示例

$f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$

解题步骤 1

将 $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ 写为等式。

$y = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2} = x$ 。

$500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2} = x$

解题步骤 3.2

将 $500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2} = x$ 中的每一项除以 $500$ 并化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2} = x$ 中的每一项都除以 $500$ 。

$\frac{500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2}}{500} = \frac{x}{500}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $500$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2}}{500} = \frac{x}{500}$

解题步骤 3.2.2.1.2

用 ${(1 - \frac{y}{50})}^{2}$ 除以 $1$ 。

${(1 - \frac{y}{50})}^{2} = \frac{x}{500}$

解题步骤 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \sqrt{\frac{x}{500}}$

解题步骤 3.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{x}{500}}$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $\frac{x}{500}$ 重写为 ${(\frac{1}{10})}^{2} \frac{x}{5}$ 。

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解题步骤 3.4.1.1

从 $x$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$1 - \frac{y}{50} = \pm \sqrt{\frac{1^{2} x}{500}}$

解题步骤 3.4.1.2

从 $500$ 中因式分解出完全幂数 $10^{2}$ 。

$1 - \frac{y}{50} = \pm \sqrt{\frac{1^{2} x}{10^{2} \cdot 5}}$

解题步骤 3.4.1.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} x}{10^{2} \cdot 5}$ 。

$1 - \frac{y}{50} = \pm \sqrt{{(\frac{1}{10})}^{2} \frac{x}{5}}$

解题步骤 3.4.2

从根式下提出各项。

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \sqrt{\frac{x}{5}}$

解题步骤 3.4.3

将 $\sqrt{\frac{x}{5}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}$ 。

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 3.4.4

将 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

解题步骤 3.4.5

合并和化简分母。

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解题步骤 3.4.5.1

将 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 3.4.5.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

解题步骤 3.4.5.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

解题步骤 3.4.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.4.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 3.4.5.6

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 3.4.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.4.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.4.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.4.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.5.6.4.1

约去公因数。

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.4.5.6.4.2

重写表达式。

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5^{1}}$

解题步骤 3.4.5.6.5

计算指数。

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 3.4.6

使用根数乘积法则进行合并。

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{5}$

解题步骤 3.4.7

乘以 $\frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{5}$ 。

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解题步骤 3.4.7.1

将 $\frac{1}{10}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x \cdot 5}}{5}$ 。

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{10 \cdot 5}$

解题步骤 3.4.7.2

将 $10$ 乘以 $5$ 。

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{50}$

解题步骤 3.4.8

将 $\pm \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{50}$ 中的因式重新排序。

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{\sqrt{5 x}}{50}$

解题步骤 3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$1 - \frac{y}{50} = \frac{\sqrt{5 x}}{50}$

解题步骤 3.5.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \frac{y}{50} = \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1$

解题步骤 3.5.3

等式两边同时乘以 $- 50$ 。

$- 50 (- \frac{y}{50}) = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

解题步骤 3.5.4

化简方程的两边。

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解题步骤 3.5.4.1

化简左边。

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解题步骤 3.5.4.1.1

化简 $- 50 (- \frac{y}{50})$ 。

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解题步骤 3.5.4.1.1.1

约去 $50$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.4.1.1.1.1

将 $- \frac{y}{50}$ 中前置负号移到分子中。

$- 50 \frac{- y}{50} = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

解题步骤 3.5.4.1.1.1.2

从 $- 50$ 中分解出因数 $50$ 。

$50 (- 1) \frac{- y}{50} = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

解题步骤 3.5.4.1.1.1.3

约去公因数。

$50 \cdot - 1 \frac{- y}{50} = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

解题步骤 3.5.4.1.1.1.4

重写表达式。

$- - y = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

解题步骤 3.5.4.1.1.2

乘。

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解题步骤 3.5.4.1.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 y = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

解题步骤 3.5.4.1.1.2.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

解题步骤 3.5.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.5.4.2.1

化简 $- 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$ 。

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解题步骤 3.5.4.2.1.1

运用分配律。

$y = - 50 \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

解题步骤 3.5.4.2.1.2

约去 $50$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.4.2.1.2.1

从 $- 50$ 中分解出因数 $50$ 。

$y = 50 (- 1) \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

解题步骤 3.5.4.2.1.2.2

约去公因数。

$y = 50 \cdot - 1 \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

解题步骤 3.5.4.2.1.2.3

重写表达式。

$y = - \sqrt{5 x} - 50 \cdot - 1$

解题步骤 3.5.4.2.1.3

将 $- 50$ 乘以 $- 1$ 。

$y = - \sqrt{5 x} + 50$

解题步骤 3.5.5

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$1 - \frac{y}{50} = - \frac{\sqrt{5 x}}{50}$

解题步骤 3.5.6

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \frac{y}{50} = - \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1$

解题步骤 3.5.7

等式两边同时乘以 $- 50$ 。

$- 50 (- \frac{y}{50}) = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

解题步骤 3.5.8

化简方程的两边。

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解题步骤 3.5.8.1

化简左边。

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解题步骤 3.5.8.1.1

化简 $- 50 (- \frac{y}{50})$ 。

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解题步骤 3.5.8.1.1.1

约去 $50$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.8.1.1.1.1

将 $- \frac{y}{50}$ 中前置负号移到分子中。

$- 50 \frac{- y}{50} = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

解题步骤 3.5.8.1.1.1.2

从 $- 50$ 中分解出因数 $50$ 。

$50 (- 1) \frac{- y}{50} = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

解题步骤 3.5.8.1.1.1.3

约去公因数。

$50 \cdot - 1 \frac{- y}{50} = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

解题步骤 3.5.8.1.1.1.4

重写表达式。

$- - y = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

解题步骤 3.5.8.1.1.2

乘。

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解题步骤 3.5.8.1.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 y = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

解题步骤 3.5.8.1.1.2.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

解题步骤 3.5.8.2

化简右边。

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解题步骤 3.5.8.2.1

化简 $- 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$ 。

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解题步骤 3.5.8.2.1.1

运用分配律。

$y = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50}) - 50 \cdot - 1$

解题步骤 3.5.8.2.1.2

约去 $50$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.8.2.1.2.1

将 $- \frac{\sqrt{5 x}}{50}$ 中前置负号移到分子中。

$y = - 50 \frac{- \sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

解题步骤 3.5.8.2.1.2.2

从 $- 50$ 中分解出因数 $50$ 。

$y = 50 (- 1) \frac{- \sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

解题步骤 3.5.8.2.1.2.3

约去公因数。

$y = 50 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

解题步骤 3.5.8.2.1.2.4

重写表达式。

$y = - - \sqrt{5 x} - 50 \cdot - 1$

解题步骤 3.5.8.2.1.3

乘。

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解题步骤 3.5.8.2.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y = 1 \sqrt{5 x} - 50 \cdot - 1$

解题步骤 3.5.8.2.1.3.2

将 $\sqrt{5 x}$ 乘以 $1$ 。

$y = \sqrt{5 x} - 50 \cdot - 1$

解题步骤 3.5.8.2.1.3.3

将 $- 50$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \sqrt{5 x} + 50$

解题步骤 3.5.9

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = - \sqrt{5 x} + 50$

$y = \sqrt{5 x} + 50$

$y = - \sqrt{5 x} + 50$

$y = \sqrt{5 x} + 50$

$y = - \sqrt{5 x} + 50$

$y = \sqrt{5 x} + 50$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$ 是否为 $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ 和 $f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 5.2

求 $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ 的值域。

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解题步骤 5.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[0, \infty)$

解题步骤 5.3

求 $- \sqrt{5 x} + 50$ 的定义域。

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解题步骤 5.3.1

将 $\sqrt{5 x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$5 x \geq 0$

解题步骤 5.3.2

将 $5 x \geq 0$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $5 x \geq 0$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 x}{5} \geq \frac{0}{5}$

解题步骤 5.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 x}{5} \geq \frac{0}{5}$

解题步骤 5.3.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{0}{5}$

解题步骤 5.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.3.1

用 $0$ 除以 $5$ 。

$x \geq 0$

解题步骤 5.3.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$[0, \infty)$

解题步骤 5.4

求 $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ 的定义域。

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解题步骤 5.4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 5.5

由于 $f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$ 的定义域为 $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ 的值域，而 $f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$ 的值域又为 $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ 的定义域，因此 $f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$ 为 $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$

解题步骤 6

初级微积分 示例

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