初级微积分示例

$f (x) = 6 x^{3} - 8$

解题步骤 1

将 $f (x) = 6 x^{3} - 8$ 写为等式。

$y = 6 x^{3} - 8$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 6 y^{3} - 8$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $6 y^{3} - 8 = x$ 。

$6 y^{3} - 8 = x$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上 $8$ 。

$6 y^{3} = x + 8$

解题步骤 3.3

将 $6 y^{3} = x + 8$ 中的每一项除以 $6$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $6 y^{3} = x + 8$ 中的每一项都除以 $6$ 。

$\frac{6 y^{3}}{6} = \frac{x}{6} + \frac{8}{6}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6 y^{3}}{6} = \frac{x}{6} + \frac{8}{6}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用 $y^{3}$ 除以 $1$ 。

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{8}{6}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

约去 $8$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{2 (4)}{6}$

解题步骤 3.3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.3.1.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.3.1.2.2

约去公因数。

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.3.1.2.3

重写表达式。

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{4}{3}$

解题步骤 3.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{4}{3}}$

解题步骤 3.5

化简 $\sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{4}{3}}$ 。

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解题步骤 3.5.1

要将 $\frac{4}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 3.5.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 3.5.2.1

将 $\frac{4}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2}}$

解题步骤 3.5.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{4 \cdot 2}{6}}$

解题步骤 3.5.3

在公分母上合并分子。

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 4 \cdot 2}{6}}$

解题步骤 3.5.4

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 8}{6}}$

解题步骤 3.5.5

将 $\sqrt[3]{\frac{x + 8}{6}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{\sqrt[3]{6}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8}}{\sqrt[3]{6}}$

解题步骤 3.5.6

将 $\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{\sqrt[3]{6}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8}}{\sqrt[3]{6}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$

解题步骤 3.5.7

合并和化简分母。

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解题步骤 3.5.7.1

将 $\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{\sqrt[3]{6}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{6}}^{2}}$

解题步骤 3.5.7.2

对 $\sqrt[3]{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1} {\sqrt[3]{6}}^{2}}$

解题步骤 3.5.7.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1 + 2}}$

解题步骤 3.5.7.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{3}}$

解题步骤 3.5.7.5

将 ${\sqrt[3]{6}}^{3}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 3.5.7.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{3}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{(6^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 3.5.7.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 3.5.7.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.5.7.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.7.5.4.1

约去公因数。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.5.7.5.4.2

重写表达式。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{1}}$

解题步骤 3.5.7.5.5

计算指数。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6}$

解题步骤 3.5.8

化简分子。

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解题步骤 3.5.8.1

将 ${\sqrt[3]{6}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{6^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} \sqrt[3]{6^{2}}}{6}$

解题步骤 3.5.8.2

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} \sqrt[3]{36}}{6}$

解题步骤 3.5.9

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 3.5.9.1

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \frac{\sqrt[3]{(x + 8) \cdot 36}}{6}$

解题步骤 3.5.9.2

将 $\frac{\sqrt[3]{(x + 8) \cdot 36}}{6}$ 中的因式重新排序。

$y = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}$ 是否为 $f (x) = 6 x^{3} - 8$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (6 x^{3} - 8)$ 。

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{36 ((6 x^{3} - 8) + 8)}}{6}$

解题步骤 5.2.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $- 8$ 和 $8$ 相加。

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 x^{3} + 0)}}{6}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $6 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{36 \cdot (6 x^{3})}}{6}$

解题步骤 5.2.3.3

将 $36$ 乘以 $6$ 。

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{216 x^{3}}}{6}$

解题步骤 5.2.3.4

将 $216 x^{3}$ 重写为 ${(6 x)}^{3}$ 。

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{{(6 x)}^{3}}}{6}$

解题步骤 5.2.3.5

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{6 x}{6}$

解题步骤 5.2.4

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{6 x}{6}$

解题步骤 5.2.4.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6})$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 {(\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6})}^{3} - 8$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

对 $\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}^{3}}{6^{3}}) - 8$

解题步骤 5.3.3.2

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.2.1

将 ${\sqrt[3]{36 (x + 8)}}^{3}$ 重写为 $36 (x + 8)$ 。

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解题步骤 5.3.3.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{36 (x + 8)}$ 重写成 ${(36 (x + 8))}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{{({(36 (x + 8))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{6^{3}}) - 8$

解题步骤 5.3.3.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{{(36 (x + 8))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{6^{3}}) - 8$

解题步骤 5.3.3.2.1.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{{(36 (x + 8))}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}}) - 8$

解题步骤 5.3.3.2.1.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1.4.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{{(36 (x + 8))}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}}) - 8$

解题步骤 5.3.3.2.1.4.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 8)}{6^{3}}) - 8$

解题步骤 5.3.3.2.1.5

化简。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 8)}{6^{3}}) - 8$

解题步骤 5.3.3.2.2

运用分配律。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 x + 36 \cdot 8}{6^{3}}) - 8$

解题步骤 5.3.3.2.3

将 $36$ 乘以 $8$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 x + 288}{6^{3}}) - 8$

解题步骤 5.3.3.2.4

从 $36 x + 288$ 中分解出因数 $36$ 。

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解题步骤 5.3.3.2.4.1

从 $36 x$ 中分解出因数 $36$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x) + 288}{6^{3}}) - 8$

解题步骤 5.3.3.2.4.2

从 $288$ 中分解出因数 $36$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 x + 36 \cdot 8}{6^{3}}) - 8$

解题步骤 5.3.3.2.4.3

从 $36 x + 36 \cdot 8$ 中分解出因数 $36$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 8)}{6^{3}}) - 8$

解题步骤 5.3.3.3

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 8)}{216}) - 8$

解题步骤 5.3.3.4

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.4.1

从 $216$ 中分解出因数 $6$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 8)}{6 (36)}) - 8$

解题步骤 5.3.3.4.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 8)}{6 \cdot 36}) - 8$

解题步骤 5.3.3.4.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = \frac{36 (x + 8)}{36} - 8$

解题步骤 5.3.3.5

约去 $36$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.5.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = \frac{36 (x + 8)}{36} - 8$

解题步骤 5.3.3.5.2

用 $x + 8$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = x + 8 - 8$

解题步骤 5.3.4

合并 $x + 8 - 8$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

从 $8$ 中减去 $8$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}$ 为 $f (x) = 6 x^{3} - 8$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}$

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