初级微积分示例

$g (x) = \sqrt[3]{8 x}$

解题步骤 1

将 $g (x) = \sqrt[3]{8 x}$ 写为等式。

$y = \sqrt[3]{8 x}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \sqrt[3]{8 y}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\sqrt[3]{8 y} = x$ 。

$\sqrt[3]{8 y} = x$

解题步骤 3.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${\sqrt[3]{8 y}}^{3} = x^{3}$

解题步骤 3.3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{8 y}$ 重写成 ${(8 y)}^{\frac{1}{3}}$ 。

${({(8 y)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

化简 ${({(8 y)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将 ${({(8 y)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(8 y)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(8 y)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(8 y)}^{1} = x^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2

化简。

$8 y = x^{3}$

解题步骤 3.4

将 $8 y = x^{3}$ 中的每一项除以 $8$ 并化简。

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解题步骤 3.4.1

将 $8 y = x^{3}$ 中的每一项都除以 $8$ 。

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{3}}{8}$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{3}}{8}$

解题步骤 3.4.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x^{3}}{8}$

解题步骤 4

使用 $g^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$g^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8}$

解题步骤 5

验证 $g^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8}$ 是否为 $g (x) = \sqrt[3]{8 x}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $g^{- 1} (g (x)) = x$ 和 $g (g^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $g^{- 1} (g (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$g^{- 1} (g (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $g$ 的值代入 $g^{- 1}$ 来计算 $g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x})$ 。

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = \frac{{(\sqrt[3]{8 x})}^{3}}{8}$

解题步骤 5.2.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = \frac{{\sqrt[3]{2^{3} x}}^{3}}{8}$

解题步骤 5.2.3.2

从根式下提出各项。

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x})}^{3}}{8}$

解题步骤 5.2.3.3

对 $2 \sqrt[3]{x}$ 运用乘积法则。

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = \frac{2^{3} {\sqrt[3]{x}}^{3}}{8}$

解题步骤 5.2.3.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = \frac{8 {\sqrt[3]{x}}^{3}}{8}$

解题步骤 5.2.3.5

将 ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 5.2.3.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = \frac{8 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{8}$

解题步骤 5.2.3.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = \frac{8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{8}$

解题步骤 5.2.3.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = \frac{8 x^{\frac{3}{3}}}{8}$

解题步骤 5.2.3.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.5.4.1

约去公因数。

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = \frac{8 x^{\frac{3}{3}}}{8}$

解题步骤 5.2.3.5.4.2

重写表达式。

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = \frac{8 x}{8}$

解题步骤 5.2.3.5.5

化简。

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = \frac{8 x}{8}$

解题步骤 5.2.4

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

约去公因数。

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = \frac{8 x}{8}$

解题步骤 5.2.4.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $g (g^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$g (g^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $g^{- 1}$ 的值代入 $g$ 来计算 $g (\frac{x^{3}}{8})$ 。

$g (\frac{x^{3}}{8}) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{3}}{8})}$

解题步骤 5.3.3

组合 $8$ 和 $\frac{x^{3}}{8}$ 。

$g (\frac{x^{3}}{8}) = \sqrt[3]{\frac{8 x^{3}}{8}}$

解题步骤 5.3.4

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.3.4.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{8 x^{3}}{8}$ 。

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解题步骤 5.3.4.1.1

约去公因数。

$g (\frac{x^{3}}{8}) = \sqrt[3]{\frac{8 x^{3}}{8}}$

解题步骤 5.3.4.1.2

重写表达式。

$g (\frac{x^{3}}{8}) = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1}}$

解题步骤 5.3.4.2

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$g (\frac{x^{3}}{8}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

解题步骤 5.3.5

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$g (\frac{x^{3}}{8}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $g^{- 1} (g (x)) = x$ 和 $g (g^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $g^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8}$ 为 $g (x) = \sqrt[3]{8 x}$ 的反函数。

$g^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8}$

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