初级微积分示例

$f (x) = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$ 写为等式。

$y = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{3 - 8 y^{3}}{2}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{3 - 8 y^{3}}{2} = x$ 。

$\frac{3 - 8 y^{3}}{2} = x$

解题步骤 3.2

两边同时乘以 $2$ 。

$\frac{3 - 8 y^{3}}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

化简左边。

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解题步骤 3.3.1.1

化简 $\frac{3 - 8 y^{3}}{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 3.3.1.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{3 - 8 y^{3}}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

解题步骤 3.3.1.1.1.2

重写表达式。

$3 - 8 y^{3} = x \cdot 2$

解题步骤 3.3.1.1.2

将 $3$ 和 $- 8 y^{3}$ 重新排序。

$- 8 y^{3} + 3 = x \cdot 2$

解题步骤 3.3.2

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$- 8 y^{3} + 3 = 2 x$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$- 8 y^{3} = 2 x - 3$

解题步骤 3.4.2

将 $- 8 y^{3} = 2 x - 3$ 中的每一项除以 $- 8$ 并化简。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $- 8 y^{3} = 2 x - 3$ 中的每一项都除以 $- 8$ 。

$\frac{- 8 y^{3}}{- 8} = \frac{2 x}{- 8} + \frac{- 3}{- 8}$

解题步骤 3.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.1

约去 $- 8$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 8 y^{3}}{- 8} = \frac{2 x}{- 8} + \frac{- 3}{- 8}$

解题步骤 3.4.2.2.1.2

用 $y^{3}$ 除以 $1$ 。

$y^{3} = \frac{2 x}{- 8} + \frac{- 3}{- 8}$

解题步骤 3.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.3.1.1

约去 $2$ 和 $- 8$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.3.1.1.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y^{3} = \frac{2 (x)}{- 8} + \frac{- 3}{- 8}$

解题步骤 3.4.2.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.4.2.3.1.1.2.1

从 $- 8$ 中分解出因数 $2$ 。

$y^{3} = \frac{2 x}{2 \cdot - 4} + \frac{- 3}{- 8}$

解题步骤 3.4.2.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y^{3} = \frac{2 x}{2 \cdot - 4} + \frac{- 3}{- 8}$

解题步骤 3.4.2.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y^{3} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 3}{- 8}$

解题步骤 3.4.2.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y^{3} = - \frac{x}{4} + \frac{- 3}{- 8}$

解题步骤 3.4.2.3.1.3

将两个负数相除得到一个正数。

$y^{3} = - \frac{x}{4} + \frac{3}{8}$

解题步骤 3.4.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{4} + \frac{3}{8}}$

解题步骤 3.4.4

化简 $\sqrt[3]{- \frac{x}{4} + \frac{3}{8}}$ 。

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解题步骤 3.4.4.1

要将 $- \frac{x}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{8}}$

解题步骤 3.4.4.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $8$ 的形式。

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解题步骤 3.4.4.2.1

将 $\frac{x}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \sqrt[3]{- \frac{x \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{3}{8}}$

解题步骤 3.4.4.2.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$y = \sqrt[3]{- \frac{x \cdot 2}{8} + \frac{3}{8}}$

解题步骤 3.4.4.3

在公分母上合并分子。

$y = \sqrt[3]{\frac{- x \cdot 2 + 3}{8}}$

解题步骤 3.4.4.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{- 2 x + 3}{8}}$

解题步骤 3.4.4.5

将 $\frac{- 2 x + 3}{8}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{3} (- 2 x + 3)$ 。

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解题步骤 3.4.4.5.1

从 $- 2 x + 3$ 中因式分解出完全幂数 $1^{3}$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} (- 2 x + 3)}{8}}$

解题步骤 3.4.4.5.2

从 $8$ 中因式分解出完全幂数 $2^{3}$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} (- 2 x + 3)}{2^{3} \cdot 1}}$

解题步骤 3.4.4.5.3

重新整理分数 $\frac{1^{3} (- 2 x + 3)}{2^{3} \cdot 1}$ 。

$y = \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} (- 2 x + 3)}$

解题步骤 3.4.4.6

从根式下提出各项。

$y = \frac{1}{2} \sqrt[3]{- 2 x + 3}$

解题步骤 3.4.4.7

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt[3]{- 2 x + 3}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$ 是否为 $f (x) = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2})$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 2 \frac{3 - 8 x^{3}}{2} + 3}}{2}$

解题步骤 5.2.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2 (- 1) (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) + 3}}{2}$

解题步骤 5.2.3.1.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2 \cdot (- 1 \frac{3 - 8 x^{3}}{2}) + 3}}{2}$

解题步骤 5.2.3.1.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 1 (3 - 8 x^{3}) + 3}}{2}$

解题步骤 5.2.3.2

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 1 \cdot 3 - 1 (- 8 x^{3}) + 3}}{2}$

解题步骤 5.2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 3 - 1 (- 8 x^{3}) + 3}}{2}$

解题步骤 5.2.3.4

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 3 + 8 x^{3} + 3}}{2}$

解题步骤 5.2.3.5

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 0}}{2}$

解题步骤 5.2.3.6

将 $8 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

解题步骤 5.2.3.7

将 $8 x^{3}$ 重写为 ${(2 x)}^{3}$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

解题步骤 5.2.3.8

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 5.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 5.2.4.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2})$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 {(\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2})}^{3}}{2}$

解题步骤 5.3.3

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{- 2 x + 3}$ 重写成 ${(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 {(\frac{{(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{2})}^{3}}{2}$

解题步骤 5.3.3.2

对 $\frac{{(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{{({(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}}}{2}$

解题步骤 5.3.3.3

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.3.1

将 ${({(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.3.3.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{{(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}}}{2}$

解题步骤 5.3.3.3.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.3.1.2.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{{(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}}}{2}$

解题步骤 5.3.3.3.1.2.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{- 2 x + 3}{2^{3}}}{2}$

解题步骤 5.3.3.3.2

化简。

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{- 2 x + 3}{2^{3}}}{2}$

解题步骤 5.3.3.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{- 2 x + 3}{8}}{2}$

解题步骤 5.3.3.5

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.5.1

从 $- 8$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 + 8 (- 1) (\frac{- 2 x + 3}{8})}{2}$

解题步骤 5.3.3.5.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 + 8 \cdot (- 1 \frac{- 2 x + 3}{8})}{2}$

解题步骤 5.3.3.5.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 1 (- 2 x + 3)}{2}$

解题步骤 5.3.3.6

运用分配律。

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 1 (- 2 x) - 1 \cdot 3}{2}$

解题步骤 5.3.3.7

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 + 2 x - 1 \cdot 3}{2}$

解题步骤 5.3.3.8

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 + 2 x - 3}{2}$

解题步骤 5.3.3.9

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{2 x + 0}{2}$

解题步骤 5.3.3.10

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 5.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 5.3.4.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$ 为 $f (x) = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$

初级微积分 示例

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